Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

122 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Напомним, что
2
π
t < sin t < t при 0 < t <
π
2
. Заметим, что
при |t| 6 2δ
|h
x
(t)| 6
πM
α
|t|
α
2|t|
=
π
2
M
α
|t|
α−1
,
так что
I
δ,n
(x) 6 M
1
Z
2δ
0
t
α−1
dt =
1
α
M
α
2
α
δ
α
. (6)
Для оценки J
δ,n
(x) при
π
λ
6 δ < |t| < π воспользуемся ра-
венством
h
x
t +
π
λ
−h
x
(t) =
f
x + t +
π
λ
2 sin
t +
π
λ
2
−
f(x + t)−f(x)
2 sin
t
2
=
=
f
x + t +
π
λ
− f(x)
2 sin
t +
π
λ
2
−
f(x + t) − f(x)
2 sin
t
2
=
=
f
x + t +
π
λ
−f(x + t)
2 sin
t +
π
λ
2
+
1
2
1
sin
t+
π
λ
2
−
1
sin
t
2
(f(x+t)−f(x)),
так что
h
x
t +
π
λ
− h
x
(t)
6
6
C
1
f
x + t +
π
λ
− f(x + t)
|t|
+
C
2
|f(x + t) − f(x)|
t
2
λ
6
6
C
1
M
α
π
λ
α
|t|
+
C
2
M
α
|t|
α
t
2
λ
6
CM
α
|t|λ
α
, (7)
J
δ,n
(x) 6 2
Z
π
δ
CM
α
λ
α
dt
t
6
2CM
α
λ
α
ln
1
δ
.
Полагая δ =
7
n
и собирая оценки, приходим к утверждению
теоремы.
Часть теоремы 2, касающаяся лишь факта равномерной
сходимости, допускает следующее обобщение.
122            Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   Напомним, что π2 t < sin t < t при 0 < t < π2 . Заметим, что
при |t| 6 2δ
                               πMα |t|α  π
                  |hx (t)| 6            = Mα |t|α−1 ,
                                2|t|     2
так что                        Z   2δ
                                               1
               Iδ,n (x) 6 M1            tα−1 dt = M α 2α δ α .         (6)
                               0               α
    Для оценки Jδ,n (x) при π    λ 6 δ < |t| < π воспользуемся ра-
венством
                                     
                      f  x  +  t + π
      π 
                                   λ       f (x + t)−f (x)
hx t +     −hx (t) =               π    −                      =
       λ                       t+
                                   λ            2 sin 2t
                        2 sin 2
                           
             f x+t+ π     λ − f (x)       f (x + t) − f (x)
          =                   π         −                      =
                         t+
                              λ                 2 sin 2t
                   2 sin 2
                                                       
              π
  f x + t + λ − f (x + t) 1  1                      1 
=                  π         +             π  −        t (f (x+t)−f (x)),
                                                          
               t+                2      t+       sin
         2 sin 2 λ                   sin 2 λ           2

так что
       π
 hx t +    − hx (t) 6
        λ               
      C1 f x + t + π   λ − f (x + t)      C2 |f (x + t) − f (x)|
    6                                   +                         6
                     |t|                            t2 λ
                                   α
                           C1 Mα π  λ      C2 Mα |t|α     CMα
                       6                +               6        , (7)
                                |t|            t2 λ       |t|λα
                          Z π
                               CMα dt      2CMα 1
            Jδ,n (x) 6 2          α
                                        6           ln .
                            δ   λ     t      λα        δ
Полагая δ = n 7 и собирая оценки, приходим к утверждению
теоремы.
   Часть теоремы 2, касающаяся лишь факта равномерной
сходимости, допускает следующее обобщение.

Страницы