Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

124 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Теорему 4 можно обобщить, заменив условие кусочно не-
прерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени
α > 0 на [a
0
, b
0
].
§ 24.3. Приближение непрерывных функций
многочленами
Определение 1. Функция вида
A
0
2
+
n
X
k=1
A
k
cos kx + B
k
sin kx (A
2
n
+ B
2
n
> 0)
называется тригонометрическим многочленом (тригономе-
трическим полиномом) степени n.
Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодичес-
кая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 суще-
ствует такой тригонометрический многочлен T , что
max
x∈R
|f(x) − T (x)| < ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {x
j
}
J
j=0
,
x
j
= −π + j
2π
J
, — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ло-
маную (вписанную в график функции f), соединив отрезками
последовательно точки (x
j
, f(x
j
)) графика f. Обозначим через
Λ
J
: R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, гра-
фик которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Оче-
видно, Λ
J
— кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит,
и кусочно непрерывно дифференцируемая (т. е. Λ
0
J
кусочно не-
прерывна).
Непрерывная функция f является равномерно непрерыв-
ной. Поэтому
|f(x
0
) − f(x
00
)| <
ε
4
при |x
0
− x
00
| 6
2π
J
,
если J = J(ε) ∈ N достаточно велико. Тогда
max |f(x) − Λ
J
(x)| <
ε
2
.
124          Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

   Теорему 4 можно обобщить, заменив условие кусочно не-
прерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени
α > 0 на [a0 , b0 ].

      § 24.3. Приближение непрерывных функций
                    многочленами
      Определение 1. Функция вида
                 n
          A0 X
            +  Ak cos kx + Bk sin kx (A2n + Bn2 > 0)
          2
                k=1

называется тригонометрическим многочленом (тригономе-
трическим полиномом) степени n.

   Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодичес-
кая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 суще-
ствует такой тригонометрический многочлен T , что
                        max |f (x) − T (x)| < ε.
                         x∈R

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {xj }Jj=0 ,
xj = −π + j 2π  J , — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ло-
маную (вписанную в график функции f ), соединив отрезками
последовательно точки (xj , f (xj )) графика f . Обозначим через
ΛJ : R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, гра-
фик которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Оче-
видно, ΛJ — кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит,
и кусочно непрерывно дифференцируемая (т. е. Λ0J кусочно не-
прерывна).
    Непрерывная функция f является равномерно непрерыв-
ной. Поэтому
                            ε                     2π
           |f (x0 ) − f (x00 )| <
                                при |x0 − x00 | 6    ,
                            4                     J
если J = J(ε) ∈ N достаточно велико. Тогда
                                         ε
                   max |f (x) − ΛJ (x)| < .
                                         2

Страницы