Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.2. Сходимость ряда Фурье 119
Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье
˜
f функции f
совпадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах
интервала.
Определение 2. Функцию f называют непрерывной и ку-
сочно непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если она
непрерывна на [a, b] и существует такое разбиение {a
i
}
m
i=0
от-
резка [a, b] (a = a
0
< a
1
< a
2
< . . . < b
m
= b), что производная
f
0
непрерывна на каждом отрезке [a
i−1
, a
i
], если в концах его
производную понимать как одностороннюю.
2π-периодическую функцию будем называть кусочно непре-
рывной (непреры вной и кусочно непрерывно дифференцируе-
мой), если она кусочно непрерывна (непрерывна и кусочно не-
прерывно дифференцируема) на отрезке [−π, π].
Теорема 2. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и
кусочно непрерывно дифференцируемая функция.
Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R
и
sup
x∈R
|S
n
(x; f ) − f(x)| 6 C
ln n
n
при n > 2,
где C не зависит от n.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M
1
= max |f
0
|,
g
x
(t) B
f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)
2 sin
t
2
.
С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях
получаем, что при 0 < t 6 π
|f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)| 6 2M
1
t.
Следовательно, при 0 < t 6 π
|g
x
(t)| 6
2M
1
t
2 sin
t
2
6 πM
1
и (за исключением, быть может, конечного числа значений t)
d
dt
g
x
(t)
6 |f
0
(x + t) − f
0
(x − t)|
1
2 sin
t
2
+
                   § 24.2. Сходимость ряда Фурье                119

   Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье f˜ функции f
совпадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах
интервала.
     Определение 2. Функцию f называют непрерывной и ку-
сочно непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если она
непрерывна на [a, b] и существует такое разбиение {ai }m   i=0 от-
резка [a, b] (a = a0 < a1 < a2 < . . . < bm = b), что производная
f 0 непрерывна на каждом отрезке [ai−1 , ai ], если в концах его
производную понимать как одностороннюю.
     2π-периодическую функцию будем называть кусочно непре-
рывной (непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируе-
мой), если она кусочно непрерывна (непрерывна и кусочно не-
прерывно дифференцируема) на отрезке [−π, π].
   Теорема 2. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и
кусочно непрерывно дифференцируемая функция.
   Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R
и
                                       ln n
          sup |Sn (x; f ) − f (x)| 6 C      при n > 2,
          x∈R                           n
где C не зависит от n.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M1 = max |f 0 |,
                           f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)
                gx (t) B                                    .
                                        2 sin 2t
   С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях
получаем, что при 0 < t 6 π
                |f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)| 6 2M1 t.
Следовательно, при 0 < t 6 π
                                     2M1 t
                        |gx (t)| 6              6 πM1
                                     2 sin 2t
и (за исключением, быть может, конечного числа значений t)
 d                                          1
    gx (t) 6 |f 0 (x + t) − f 0 (x − t)|         +
 dt                                      2 sin t   2

Страницы