Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.2. Сходимость ряда Фурье 117
+
f(x
0
− t) − f(x
0
− 0)
t
t
2 sin
t
2
sin
n +
1
2
t
dt. (1)
Дробь
t
2 sin
t
2
, доопределенная единицей при t = 0, является
непрерывной на [0, π] функцией. Дробь
f(x
0
+ t) − f (x
0
+ 0)
t
является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, по-
скольку таковой является ее числите ль, и при t → 0 + 0
она имеет конечный предел. То же относится и ко вто-
рой дроби в квадратной скобке. Следовательно, множитель
при sin

n +
1
2
t
в подынтегральном выражении последнего
интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на
[0, π] функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний
интеграл стремится к нулю при n → ∞, т. е.
S
n
(x
0
; f ) →
f(x
0
− 0) − f(x
0
+ 0)
2
при n → ∞.
З а м е ч а н и е 1. Требование существования f
0
+
(x
0
),
f
0
−
(x
0
) в условии теоремы можно (как это видно из доказатель-
ства) заменить более слабым требованием выполнения нера-
венств
|f(x
0
+ h) − f(x
0
+ 0)| 6 M h
α
, ∀h ∈ (0, δ),
|f(x
0
− h) − f(x
0
− 0)| 6 M h
α
, ∀h ∈ (0, δ)
(2)
при некоторых α ∈ (0, 1], δ > 0, M > 0. Условия (2) называ-
ются (односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при
α = 1 еще и (односторонними) условиями Липшица.
Следствие 1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и существует f
0
(x
0
).
Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x
0
к f(x
0
).
З а м е ч а н и е 2. Непрерывность на R 2π-периоди-
ческой функции не является достаточным условием сходимо-
сти ее ряда Фурье в данной точке x
0
. Существуют примеры
2π-периодических непрерывных на R функций, ряды Фурье ко-
торых расходятся в каждой рациональной точке.
                  § 24.2. Сходимость ряда Фурье                    117
                                                          
           f (x0 − t) − f (x0 − 0)    t                   1
       +                                          sin n +    t dt. (1)
                      t            2 sin 2t               2

   Дробь     t , доопределенная единицей при t = 0, является
         2 sin 2t
                                         f (x0 + t) − f (x0 + 0)
непрерывной на [0, π] функцией. Дробь               t
является абсолютно интегрируемой на [0, π] функцией, по-
скольку таковой является ее числитель, и при t → 0 + 0
она имеет конечный предел. То же относится и ко вто-
рой дроби
         в квадратной
                       скобке. Следовательно, множитель
              1
при sin n + 2 t в подынтегральном выражении последнего
интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на
[0, π] функцию. По теореме Римана об осцилляции, последний
интеграл стремится к нулю при n → ∞, т. е.
                       f (x0 − 0) − f (x0 + 0)
      Sn (x0 ; f ) →                           при n → ∞.
                                  2
    З а м е ч а н и е 1. Требование существования f+0 (x0 ),
 0
f− (x0 ) в условии теоремы можно (как это видно из доказатель-
ства) заменить более слабым требованием выполнения нера-
венств
            |f (x0 + h) − f (x0 + 0)| 6 M hα , ∀ h ∈ (0, δ),
                                                             (2)
            |f (x0 − h) − f (x0 − 0)| 6 M hα , ∀ h ∈ (0, δ)
при некоторых α ∈ (0, 1], δ > 0, M > 0. Условия (2) называ-
ются (односторонними) условиями Гёльдера степени α, а при
α = 1 еще и (односторонними) условиями Липшица.
   Следствие 1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и существует f 0 (x0 ).
Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x0 к f (x0 ).
   З а м е ч а н и е 2. Непрерывность на R 2π-периоди-
ческой функции не является достаточным условием сходимо-
сти ее ряда Фурье в данной точке x0 . Существуют примеры
2π-периодических непрерывных на R функций, ряды Фурье ко-
торых расходятся в каждой рациональной точке.

Страницы