Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

116 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
§ 24.2. Сходимость ряда Фурье
Пусть x
0
— точка разрыва первого рода функции f. Введем
следующие обобщения односторонних производных:
f
0
+
(x
0
) = lim
h→0+0
f(x
0
+ h) − f(x
0
+ 0)
h
,
f
0
−
(x
0
) = lim
h→0+0
f(x
0
− h) − f(x
0
− 0)
−h
,
которые также будем называть односторонними производ-
ными.
Определение 1. Точку x
0
назовем почти регулярной точ-
кой функции f, если существуют f(x
0
+ 0), f(x
0
− 0), f
0
+
(x
0
),
f
0
−
(x
0
). Если при этом f(x
0
) =
f(x
0
− 0) + f(x
0
+ 0)
2
, то x
0
на-
зовем регулярной точкой функции f.
Если функция f непрерывна в точке x
0
и имеет в ней пра-
вую и левую производные, то x
0
— регулярная точка функ-
ции f.
Теорема 1. Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и x
0
— ее почти регу-
лярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке
x
0
к
f(x
0
− 0) + f(x
0
+ 0)
2
. Если же при этом x
0
— регулярная
точка f (в частности, если f непрерывна в точке x
0
), то ряд
Фурье в точке x
0
сходится к f (x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x
0
— почти регулярная
точка функции f . Из формулы (24.1.8) с помощью (24.1.6) по-
лучаем
S
n
(x; f ) −
f(x
0
− 0) + f(x
0
+ 0)
2
=
=
1
π
Z
π
0
D
n
(t)[f(x
0
+ t) + f(x
0
− t)] dt−
−
f(x
0
+ 0) + f(x
0
− 0)
2
2
π
Z
π
0
D
n
(t) dt =
=
1
π
Z
π
0
f(x
0
+ t) − f(x
0
+ 0)
t
+
116           Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

             § 24.2. Сходимость ряда Фурье
   Пусть x0 — точка разрыва первого рода функции f . Введем
следующие обобщения односторонних производных:
                             f (x0 + h) − f (x0 + 0)
            f+0 (x0 ) = lim                          ,
                       h→0+0            h
                             f (x0 − h) − f (x0 − 0)
            f−0 (x0 ) = lim                          ,
                       h→0+0           −h
которые также будем называть односторонними производ-
ными.
   Определение 1. Точку x0 назовем почти регулярной точ-
кой функции f , если существуют f (x0 + 0), f (x0 − 0), f+0 (x0 ),
                                  f (x − 0) + f (x + 0)
f−0 (x0 ). Если при этом f (x0 ) = 0
                                        2
                                             0
                                                 , то x0 на-
зовем регулярной точкой функции f .
     Если функция f непрерывна в точке x0 и имеет в ней пра-
вую и левую производные, то x0 — регулярная точка функ-
ции f .
   Теорема 1.     Пусть 2π-периодическая функция f абсо-
лютно интегрируема на отрезке [−π, π], и x0 — ее почти регу-
лярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке
      f (x − 0) + f (x + 0)
        0         0
x0 к         2         . Если же при этом x0 — регулярная
точка f (в частности, если f непрерывна в точке x0 ), то ряд
Фурье в точке x0 сходится к f (x0 ).
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 — почти регулярная
точка функции f . Из формулы (24.1.8) с помощью (24.1.6) по-
лучаем
             f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
Sn (x; f ) −                          =
                    Z π 2
                  1
               =        Dn (t)[f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt−
                  π 0
                 f (x0 + 0) + f (x0 − 0) 2 π
                                            Z
              −                                 Dn (t) dt =
                            2              π 0
                      1 π f (x0 + t) − f (x0 + 0)
                        Z 
                   =                                 +
                      π 0                t

Страницы