Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

114 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье
Назовем ядром Дирихле функцию
D
n
(x) B
1
2
+
n
X
k=1
cos kx =
sin
n +
1
2
x
2 sin
x
2
. (5)
Последнее равенство (правая часть понимается при x =
= 2mπ, m ∈ Z, как предел частного при x → 2mπ) устана-
вливается следующим образом. При x 6= 2mπ
D
n
(x) =
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k=1
2 sin
x
2
cos kx
!
=
=
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k=1
sin
2k + 1
2
x − sin
2k − 1
2
x
!
=
=
sin
n +
1
2
x
2 sin
x
2
.
Ядро Дирихле (5) является, очевидно, 2π-периодической,
четной, непрерывной функцией:
max |D
n
(x)| = D
n
(0) = n +
1
2
,
2
π
Z
π
0
D
n
(x) dx =
1
π
Z
π
−π
D
n
(x) dx = 1. (6)
Преобразуем сумму Фурье S
n
(x; f), подставив в нее вместо
коэффициентов Фурье их выражения (2). Получим
S
n
(x; f) =
=
1
2π
π
Z
−π
f(t) dt +
n
X
k=1
1
π
π
Z
−π
f(t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =
=
1
π
π
Z
−π
f(t)
"
1
2
+
n
X
k=1
cos k(t − x)
#
dt =
=
1
π
π
Z
−π
D
n
(t − x)f(t) dt. (7)
114            Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

      Назовем ядром Дирихле функцию
                                                         
                         1
                               n
                               X                sin n + 21 x
             Dn (x) B      +         cos kx =                  .        (5)
                         2                         2 sin x2
                               k=1

    Последнее равенство (правая часть понимается при x =
= 2mπ, m ∈ Z, как предел частного при x → 2mπ) устана-
вливается следующим образом. При x 6= 2mπ
                               n
                                               !
              1          x X           x
Dn (x) =              sin +       2 sin cos kx =
          2 sin x2       2             2
                             k=1
                            n                              !
          1            x X           2k + 1         2k − 1
    =              sin +         sin        x − sin        x      =
       2 sin x2        2               2              2
                           k=1
                                                                   
                                                        sin n + 12 x
                                                     =                .
                                                           2 sin x2

   Ядро Дирихле (5) является, очевидно, 2π-периодической,
четной, непрерывной функцией:
                                           1
              max |Dn (x)| = Dn (0) = n + ,
                                           2
             Z π               Z π
           2                 1
                 Dn (x) dx =       Dn (x) dx = 1.         (6)
           π 0               π −π
   Преобразуем сумму Фурье Sn (x; f ), подставив в нее вместо
коэффициентов Фурье их выражения (2). Получим
Sn (x; f ) =
        Zπ               n      Zπ
     1                 X     1
 =          f (t) dt +             f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =
    2π                       π
       −π              k=1 −π
                      Zπ        "       n
                                                       #
                    1             1 X
                =         f (t)     +      cos k(t − x) dt =
                    π             2
                      −π               k=1
                                                  Zπ
                                                1
                                             =       Dn (t − x)f (t) dt. (7)
                                                π
                                                 −π

Страницы