Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации 113
Теорема 1 (Римана об осцилляции). Пусть функция f
абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интер-
вале (a, b). Тогда
lim
λ→∞
Z
b
a
f(x) cos λx dx = lim
λ→∞
Z
b
a
f(x) sin λx dx = 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем
считать, что (a, b) = (−∞, +∞) (если это не так, то функ-
цию f можно доопределить нулем на (−∞, +∞) \ (a, b)). По
теореме 14.8.4, функция f является непрерывной по сдвигу в
среднем, т. е.
Z
+∞
−∞
|f(x + h) − f(x)|dx → 0 при h → 0. (4)
Заменив переменную x на x +
π
λ
, получаем
I(λ) B
Z
+∞
−∞
f(x) cos λx dx = −
Z
+∞
−∞
f
x +
π
λ
cos λx dx =
= −
1
2
Z
+∞
−∞
h
f
x +
π
λ
− f(x)
i
cos λx dx.
В силу (4)
|I(λ)| 6
1
2
Z
+∞
−∞
f
x +
π
λ
− f(x)
dx → 0 (λ → ∞).
Для интеграла
R
+∞
−∞
f(x) sin λx dx доказательство аналогично.
Следствие 1. Коэффициенты Фурье (2) абсолютно инте-
грируемой на отрезке [−π, π] функции стремятся к нулю при
k → ∞.
Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегриру-
ема на [−π, π]. Частичная сумма ряда Фурье
S
n
(x; f ) B
a
0
2
+
n
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx
называется суммой Фурье порядка n ∈ N
0
функции f . Приве-
дем ее к компактному виду, удобному для дальнейших иссле-
дований.
    § 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации       113

   Теорема 1 (Римана об осцилляции). Пусть функция f
абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интер-
вале (a, b). Тогда
             Z b                       Z b
       lim       f (x) cos λx dx = lim     f (x) sin λx dx = 0.
      λ→∞ a                       λ→∞ a

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности будем
считать, что (a, b) = (−∞, +∞) (если это не так, то функ-
цию f можно доопределить нулем на (−∞, +∞) \ (a, b)). По
теореме 14.8.4, функция f является непрерывной по сдвигу в
среднем, т. е.
         Z +∞
                |f (x + h) − f (x)| dx → 0 при h → 0.       (4)
           −∞
Заменив переменную x на x + π   λ , получаем
       Z +∞                     Z +∞ 
                                             π
I(λ) B      f (x) cos λx dx = −        f x+     cos λx dx =
        −∞                        −∞         λ
                            1 +∞ h 
                             Z
                                           π         i
                       =−            f x+      − f (x) cos λx dx.
                            2 −∞           λ
   В силу (4)
                 Z   +∞
             1                π
    |I(λ)| 6              f x+    − f (x) dx → 0    (λ → ∞).
             2   −∞            λ
                 R +∞
Для интеграла     −∞ f (x) sin λx dx   доказательство аналогично.
   Следствие 1. Коэффициенты Фурье (2) абсолютно инте-
грируемой на отрезке [−π, π] функции стремятся к нулю при
k → ∞.
   Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегриру-
ема на [−π, π]. Частичная сумма ряда Фурье
                             n
                         a0 X
            Sn (x; f ) B   +   ak cos kx + bk sin kx
                         2
                                k=1
называется суммой Фурье порядка n ∈ N0 функции f . Приве-
дем ее к компактному виду, удобному для дальнейших иссле-
дований.

Страницы