Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 111 стр.

    § 24.1. Определение ряда Фурье и принцип локализации   111

и этот ряд сходится равномерно на R. Тогда
                  1 π
                    Z
             a0 =       f (x) dx,
                  π −π
                    Z π
                  1
             ak =       f (x) cos kx dx,                    (2)
                  π −π
                  1 π
                    Z
             bk =       f (x) sin kx dx, k ∈ N.
                  π −π

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f непрерывна на [−π, π]
как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функ-
ций. Домножим равенство (1) почленно на cos nx или sin nx
(n ∈ N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно
и их почленное интегрирование с использованием свойства ор-
тогональности функций системы дает
         Z π                     Z π
               f (x) cos nx dx =     an cos2 nx dx = πan ,
          Z−ππ                   Z−π
                                   π
               f (x) sin nx dx =     bn sin2 nx dx = πbn ,
           −π                   −π
откуда получаем вторую и третью формулы из (2). Первая из
формул (2) получается почленным интегрированием ряда (1).
   Заметим, что члены тригонометрического ряда являются
определенными на действительной оси 2π-периодическими
функциями. Поэтому и сумма тригонометрического ряда (если
этот ряд сходится) также является 2π-периодической функ-
цией.
   Определение 2. Пусть f — 2π-периодическая функ-
ция, абсолютно интегрируемая на отрезке [−π, π]. Тригономе-
трический ряд с коэффициентами ak , bk , определенными фор-
мулами (2), называется (тригонометрическим) рядом Фурье
функции f , а коэффициенты ak , bk — коэффициентами Фурье
функции f .
   В этом случае пишут
                          ∞
                      a0 X
              f (x) ∼   +   ak cos kx + bk sin kx,      (3)
                      2
                          k=1