Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 24
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
ФУРЬЕ
§ 24.1. Определение ряда Фурье и принцип
локализации
Определение 1. Ряд вида
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx (a
k
, b
k
∈ R)
называется тригонометрическим рядом.
Множество функций
1
2
, cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . .
называется тригонометрической системой.
Тригонометрическая система функций является ортого-
нальной системой в том смысле, что
Z
π
−π
cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N
0
, k 6= m,
Z
π
−π
sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N
0
, k 6= m,
Z
π
−π
cos kx sin mx dx = 0, k ∈ N
0
, m ∈ N.
Кроме того,
Z
π
−π
cos
2
kx dx =
Z
π
−π
sin
2
kx dx = π, k ∈ N.
Лемма 1. Пусть
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx, (1)
            Глава 24
    ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
             ФУРЬЕ

    § 24.1. Определение ряда Фурье и принцип
                   локализации
   Определение 1. Ряд вида
                 ∞
         a0 X
           +  ak cos kx + bk sin kx (ak , bk ∈ R)
         2
                k=1

называется тригонометрическим рядом.
   Множество функций
   1
     , cos x, sin x, cos2x, sin 2x, cos 3x, sin 3x, . . .
   2
называется тригонометрической системой.
   Тригонометрическая система функций является ортого-
нальной системой в том смысле, что
        Z π
            cos kx cos mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m,
         −π
        Z π
             sin kx sin mx dx = 0, k, m ∈ N0 , k 6= m,
         −π
        Z π
            cos kx sin mx dx = 0, k ∈ N0 , m ∈ N.
         −π

   Кроме того,
        Z π             Z      π
               2
            cos kx dx =            sin2 kx dx = π,   k ∈ N.
         −π                   −π


   Лемма 1. Пусть
                             ∞
                        a0 X
              f (x) =     +  ak cos kx + bk sin kx,           (1)
                        2
                            k=1

Страницы