Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 112 стр.

112         Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

понимая под такой записью, что функции f поставлен в соот-
ветствие ее ряд Фурье.
   Лемму 1 можно переформулировать так: равномерно сходя-
щийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей
суммы.
   Упражнение 1. Показать, что тригонометрический ряд
 ∞
P  sin kx , ε > 0, является рядом Фурье.
     1+ε
k=1
      k
   Заметим, что если 2π-периодическая функция f абсолютно
интегрируема на каком-либо отрезке [a, a + 2π] длины 2π, то
она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом
отрезке [b, b + 2π] и при этом
                 Z b+2π            Z a+2π
                        f (x) dx =        f (x) dx.
                b               a
Это свойство, очевидное с геометрической точки зрения, без
труда можно доказать и аналитически. В частности, коэффи-
циенты Фурье 2π-периодической функции f можно вычислять,
заменив в формулах (2) интеграл по отрезку [−π, π] на инте-
грал по любому отрезку [a, a + 2π].
    С другой стороны, каждую заданную на [a − π, a + π] абсо-
лютно интегрируемую функцию можно (изменив при необхо-
димости ее значение в точке a − π или в точке a + π, или и в
той и в другой точке) продолжить до определенной на всей оси
2π-периодической функции. При этом изменение ее значения в
одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее 2π-
периодического продолжения (2), а значит, и ряда Фурье (3).
Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно из-
учать, считая, что функция f задана лишь на отрезке длиной
2π, например, на [−π, π].
    Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости
ряда Фурье в данной точке, на отрезке, равномерной сходимо-
сти на всей числовой оси и т. п. Наибольший интерес пред-
ставляет случай, когда ряд Фурье функции f сходится в том
или ином смысле к функции f . В этом случае говорят, что
функция f разложена в ряд Фурье.