Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 109 стр.

     § 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение)     109

   Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируемое вектор-
ное поле ~a задано в поверхностно односвязной области G.
   Тогда для его потенциальности необходимо и достаточно,
чтобы оно было безвихревым.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость установлена в тео-
реме 20.5.2. Для доказательства достаточности покажем, что
выполняется условие (2) для произвольного кусочно гладкого
контура Γ ⊂ G. В силу леммы об аппроксимации криволиней-
ного интеграла второго рода достаточно убедиться в выполне-
нии условия                 Z
                              (~a, d~r) = 0                  (4)
                          Λ
для любой замкнутой ломаной Λ ⊂ G. Натянем на Λ поверх-
ность S ⊂ G, удовлетворяющую условиям теоремы Стокса, что
можно сделать в силу поверхностной односвязности области G.
Тогда по теореме Стокса
        Z             ZZ                 ZZ
          (~a, d~r) =    (rot~a,~ν) dS =    (~0,~ν) dS = 0.
         Λ            S                       S
    Следовательно, условие (4) выполняется и теорема дока-
зана.
    З а м е ч а н и е 1. Сравним характер усло-
вий (1), (2), (3) потенциальности непрерывно дифференцируе-
мого поля ~a.
    Условие (3) является локальным (для его проверки в дан-
ной точке достаточно знать поведение поля ~a в сколь угодно
малой окрестности этой точки). Условия (1), (2) называют
интегральными (для их проверки требуется знание поведения
поля ~a «в целом»). Мы видели (теорема 1), что из интеграль-
ного условия вытекает локальное для произвольной области G,
т. к. для доказательства привлекаются свойства поля ~a в ле-
жащем в области малом шаре с центром в данной точке.
    Из локального условия (3) интегральное условие (1) или (2)
вытекает лишь при некотором специальном геометрическом
условии (поверхностная односвязность) на область (см. тео-
рему 2 и пример 1).