Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение) 107
области G, если существует непрерывно дифференцируемая
функция (потенциал) U: G → R такая, что
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
на G. (1)
Необходимым и достаточным условием потенциальности
непрерывного в области G векторного поля ~a является в силу
теоремы 20.5.1 условие равенства нулю его циркуляции
Z
Γ
(~a, d~r) = 0 (2)
по любому кусочно гладкому контуру Γ ⊂ G.
Выясним связь между потенциальностью непрерывно диф-
ференцируемого векторного поля ~a = P~ı + Q~ + R
~
k и условием
rot~a =
~ı ~
~
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
=
= (R
0
y
− Q
0
z
)~ı + (P
0
z
− R
0
x
)~ + (Q
0
x
− P
0
y
)
~
k =
~
0, (3)
при выполнении которого векторное поле ~a называется безвих-
ревым.
Теорема 1. Пусть непрерывно дифференцируемое вектор-
ное поле в области G ⊂ R
3
потенциально.
Тогда оно является безвихревым.
Эта теорема содержится как часть в теореме 20.5.2.
Условие (3), являясь необходимым условием потенциаль-
ности непрерывно дифференцируемого векторного поля ~a, не
является достаточным в случае произвольной области G ⊂ R
3
.
Пример 1. Пусть G = R
3
\Oz, ~a = −
y
x
2
+ y
2
~ı +
x
x
2
+ y
2
~ +
+ 0
~
k, (x, y, z) ∈ G.
Тогда rot~a =
~
0 в области G. Однако поле ~a не является
потенциальным, в чем можно убедиться, вспомнив, что цирку-
ляция его по окружности C
R
= {(R cos θ, R sin θ, 0), 0 6 θ 6 2π}
радиуса R
Z
C
R
(~a, d~r) = 2π 6= 0,
      § 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение)               107

области G, если существует непрерывно дифференцируемая
функция (потенциал) U : G → R такая, что
              ∂U          ∂U             ∂U
         P =      , Q=         , R=         на G.        (1)
              ∂x          ∂y             ∂z
   Необходимым и достаточным условием потенциальности
непрерывного в области G векторного поля ~a является в силу
теоремы 20.5.1 условие равенства нулю его циркуляции
                        Z
                           (~a, d~r) = 0                 (2)
                                Γ
по любому кусочно гладкому контуру Γ ⊂ G.
   Выясним связь между потенциальностью непрерывно диф-
ференцируемого векторного поля ~a = P~ı + Q~ + R~k и условием
       ~ı ~ ~k
        ∂ ∂ ∂ =
rot~a = ∂x ∂y ∂z
        P Q R
            = (Ry0 − Q0z )~ı + (Pz0 − Rx0 )~ + (Q0x − Py0 )~k = ~0,   (3)
при выполнении которого векторное поле ~a называется безвих-
ревым.
   Теорема 1. Пусть непрерывно дифференцируемое вектор-
ное поле в области G ⊂ R3 потенциально.
   Тогда оно является безвихревым.
   Эта теорема содержится как часть в теореме 20.5.2.
   Условие (3), являясь необходимым условием потенциаль-
ности непрерывно дифференцируемого векторного поля ~a, не
является достаточным в случае произвольной области G ⊂ R3 .
   Пример 1. Пусть G = R3 \ Oz, ~a = − 2 y 2 ~ı + 2 x 2 ~ +
                                                      x +y    x +y
+ 0~k, (x, y, z) ∈ G.
    Тогда rot~a = ~0 в области G. Однако поле ~a не является
потенциальным, в чем можно убедиться, вспомнив, что цирку-
ляция его по окружности CR = {(R cos θ, R sin θ, 0), 0 6 θ 6 2π}
радиуса R             Z
                               (~a, d~r) = 2π 6= 0,
                          CR

Страницы