Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.3. Формула Стокса 105
З а м е ч а н и е 1. Справедливость теоремы (фор-
мулы) Стокса сохранится, если в ее условиях уменьшить тре-
бование к поверхности S, сняв условие непрерывности вто-
рых производных (которое является лишь «техническим», т. е.
нужным лишь для проведения приведенного доказательства).
Таким образом, теорема Стокса остается верной, если под
S понимать произвольный параметрически заданный (эле-
ментарный гладкий) кусок поверхности (см. терминологию
в §21.5). План доказательства такого обобщения теоремы
Стокса может состоять в аппроксимации гладкого куска по-
верхности гладким дважды непрерывно дифференцируемым
куском, применением к последнему доказанной теоремы Стокса
и предельном переходе по последовательности аппроксимирую-
щих гладких дважды непрерывно дифференцируемых кусков.
Не приводя самого доказательства, будем считать, что те-
орема (формула) Стокса верна в указанной более общей фор-
мулировке.
Формула Стокса (3) остается справедливой и при одновре-
менной замене ориентаций куска поверхности S и его края
∂S = Γ на противоположные, т. к. при этом обе части равен-
ства (3) поменяют знаки на противоположные. Ориентации S
и ∂S = Γ после смены на противоположные также окажутся
взаимно согласованными по «правилу штопора».
Теорему Стокс а можно обобщить на случай ориентиро-
ванной кусочно-гладкой поверхности S (см. терминологию
в §21.7).
Теорема 2 (Стокса). Пусть S =
S
I
i=1
S
i
— ориентиро-
ванная полем ~ν = {~ν
i
}
I
i=1
единичных нормалей кусочно глад-
кая поверхность, лежащая в области G ⊂ R
3
, ∂S — ее край
с ориентацией, порожденной заданной ориентацией поверхно-
сти S. Тогда для непрерывно дифференцируемого в области
G векторного поля ~a
ZZ
S
(rot~a,~ν) dS =
I
X
i=1
ZZ
S
i
(rot~a,~ν
i
) dS =
Z
∂S
(~a, d~r).
                    § 23.3. Формула Стокса                    105

    З а м е ч а н и е 1. Справедливость теоремы (фор-
мулы) Стокса сохранится, если в ее условиях уменьшить тре-
бование к поверхности S, сняв условие непрерывности вто-
рых производных (которое является лишь «техническим», т. е.
нужным лишь для проведения приведенного доказательства).
    Таким образом, теорема Стокса остается верной, если под
S понимать произвольный параметрически заданный (эле-
ментарный гладкий) кусок поверхности (см. терминологию
в § 21.5). План доказательства такого обобщения теоремы
Стокса может состоять в аппроксимации гладкого куска по-
верхности гладким дважды непрерывно дифференцируемым
куском, применением к последнему доказанной теоремы Стокса
и предельном переходе по последовательности аппроксимирую-
щих гладких дважды непрерывно дифференцируемых кусков.
    Не приводя самого доказательства, будем считать, что те-
орема (формула) Стокса верна в указанной более общей фор-
мулировке.
    Формула Стокса (3) остается справедливой и при одновре-
менной замене ориентаций куска поверхности S и его края
∂S = Γ на противоположные, т. к. при этом обе части равен-
ства (3) поменяют знаки на противоположные. Ориентации S
и ∂S = Γ после смены на противоположные также окажутся
взаимно согласованными по «правилу штопора».
    Теорему Стокса можно обобщить на случай ориентиро-
ванной кусочно-гладкой поверхности S (см. терминологию
в § 21.7).
    Теорема 2 (Стокса). Пусть S = Ii=1 Si — ориентиро-
                                                S
ванная полем ~ν = {~ν i }Ii=1 единичных нормалей кусочно глад-
кая поверхность, лежащая в области G ⊂ R3 , ∂S — ее край
с ориентацией, порожденной заданной ориентацией поверхно-
сти S. Тогда для непрерывно дифференцируемого в области
G векторного поля ~a
       ZZ                  XI ZZ                      Z
           (rot~a,~ν) dS =         (rot~a,~ν i ) dS =   (~a, d~r).
         S               i=1   Si                 ∂S

Страницы