Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

104 Глава 23. Скалярные и векторные поля
В координатной форме формула (3) имеет вид
ZZ
S
cos α cos β cos γ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
dS =
ZZ
S

∂R
∂y
−
∂Q
∂z
cos α+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
cos β +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
cos γ
dS =
=
Z
Γ
P dx + Q dy + R dz. (4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим лишь случай вектор-
ного поля ~a = P~ı + 0~ + 0
~
k, так как случаи поля Q~ и R
~
k рас-
сматриваются аналогично и все вместе приводят к формуле (4)
общего вида. Итак,
Z
Γ
P (x, y, z)dx =
=
Z
b
a
P [x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))]×
×[x
0
u
(u(t), v(t))u
0
t
+ x
0
v
(u(t), v(t))v
0
t
] dt =
=
Z
Γ
D
P [x(u, v), y(u, v), z(u, v)][x
0
u
(u, v) du + x
0
v
(u, v)] dv.
Применив формулу Грина к последнему интегралу, полу-
чаем, что
Z
Γ
P dx =
ZZ
D
∂
∂u
P
∂x
∂v
−
∂
∂v
P
∂x
∂u

du dv =
=
ZZ
D

∂P
∂x
∂x
∂u
+
∂P
∂y
∂y
∂u
+
∂P
∂z
∂z
∂u
∂x
∂v
+ P
∂
2
x
∂u∂v
−
−
∂P
∂x
∂x
∂v
+
∂P
∂y
∂y
∂v
+
∂P
∂z
∂z
∂v
∂x
∂u
− P
∂
2
x
∂v∂u
du dv =
=
ZZ
D
∂P
∂z
∂(z, x)
∂(u, v)
−
∂P
∂y
∂(x, y)
∂(u, v)
du dv =
=
ZZ
S
∂P
∂z
cos β −
∂P
∂y
cos γ
dS,
что и требовалось показать.
104                      Глава 23. Скалярные и векторные поля

      В координатной форме формула (3) имеет вид
ZZ     cos α cos β cos γ                 Z Z                
        ∂           ∂       ∂                       ∂R ∂Q
        ∂x          ∂y      ∂z    dS =                 −          cos α+
  S                                         S       ∂y   ∂z
        P           Q       R
                                                              
                    ∂P   ∂R                        ∂Q ∂P
            +          −             cos β +          −      cos γ dS =
                    ∂z   ∂x                        ∂x   ∂y
                                                      Z
                                                    =   P dx + Q dy + R dz. (4)
                                                       Γ
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим лишь случай вектор-
ного поля ~a = P~ı + 0~ + 0~k, так как случаи поля Q~ и R~k рас-
сматриваются аналогично и все вместе приводят к формуле (4)
общего вида. Итак,
Z
   P (x, y, z)dx =
 Γ
             Z b
          =      P [x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))]×
                    a
                                     ×[x0u (u(t), v(t))u0t + x0v (u(t), v(t))vt0 ] dt =
                Z
            =            P [x(u, v), y(u, v), z(u, v)][x0u (u, v) du + x0v (u, v)] dv.
                ΓD
   Применив формулу Грина к последнему интегралу, полу-
чаем, что
Z         ZZ                         
                ∂      ∂x      ∂      ∂x
   P dx =            P      −       P       du dv =
 Γ           D ∂u      ∂v     ∂v      ∂u
                                                     ∂2x
       Z Z                             
              ∂P ∂x ∂P ∂y         ∂P ∂z ∂x
     =                +        +                +P        −
          D   ∂x ∂u     ∂y ∂u     ∂z ∂u ∂v          ∂u∂v
                                               ∂2x
                                                 
         ∂P ∂x ∂P ∂y ∂P ∂z ∂x
     −         +         +              −P          du dv =
         ∂x ∂v    ∂y ∂v     ∂z ∂v ∂u          ∂v∂u
             ZZ                            
                  ∂P ∂(z, x) ∂P ∂(x, y)
           =                  −               du dv =
               D ∂z ∂(u, v)      ∂y ∂(u, v)
                                ZZ                         
                                       ∂P          ∂P
                              =           cos β −      cos γ dS,
                                   S   ∂z          ∂y
что и требовалось показать.

Страницы