Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.3. Формула Стокса 103
Ясно, что оба этих определения совпадают, если область G
объемно односвязна.
§ 23.3. Формула Стокса
Пусть дважды непрерывно дифференцируемый (элемен-
тарный гладкий) кусок поверхности
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} ⊂ G ⊂ R
3
,
где G — область в R
3
, D — плоская ограниченная область с
границей
∂D = Γ
D
= {(u(t), v(t)), a 6 t 6 b}, (1)
представляющей собой простой кусочно гладкий контур,
∂S = Γ = {~r(u(t), v(t)), a 6 t 6 b}. (2)
Говорят, что контур Γ ограничивает поверхность S, а
также, что поверхность S натянута на контур Γ.
Будем считать контур Γ
D
ориентированным положительно
относ ительно D.
Пусть
~n =
~r
0
u
×~r
0
v
|~r
0
u
×~r
0
v
|
= (cos α, cos β, cos γ)
— ориентация поверхности S. При этом ориентации S и ∂S
оказываются согласованными по правилу штопора (см. §21.5).
Теорема 1 (Стокса). Пусть в области G задано непре-
рывно дифференцируемое векторное поле ~a = P~ı + Q~ + R
~
k и
поверхность S описанного типа. Тогда
ZZ
S
(rot~a,~n) dS =
Z
Γ
(~a, d~r), (3)
т. е. поток вихря векторного поля через поверхность S равен
циркуляции векторного поля по контуру, ограничивающему
эту поверхность.
При этом ориентации S и Γ согласованы по «правилу што-
пора».
Формула (3) называется формулой Стокса.
                  § 23.3. Формула Стокса                 103

   Ясно, что оба этих определения совпадают, если область G
объемно односвязна.

                § 23.3. Формула Стокса
   Пусть дважды непрерывно дифференцируемый (элемен-
тарный гладкий) кусок поверхности
             S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} ⊂ G ⊂ R3 ,
где G — область в R3 , D — плоская ограниченная область с
границей
            ∂D = ΓD = {(u(t), v(t)), a 6 t 6 b},      (1)
представляющей собой простой кусочно гладкий контур,
             ∂S = Γ = {~r(u(t), v(t)), a 6 t 6 b}.       (2)
   Говорят, что контур Γ ограничивает поверхность S, а
также, что поверхность S натянута на контур Γ.
   Будем считать контур ΓD ориентированным положительно
относительно D.
   Пусть
                   ~r0 ×~r0v
              ~n = 0u          = (cos α, cos β, cos γ)
                  |~ru ×~r0v |
— ориентация поверхности S. При этом ориентации S и ∂S
оказываются согласованными по правилу штопора (см. § 21.5).

   Теорема 1 (Стокса). Пусть в области G задано непре-
рывно дифференцируемое векторное поле ~a = P~ı + Q~ + R~k и
поверхность S описанного типа. Тогда
                ZZ                 Z
                    (rot~a,~n) dS = (~a, d~r),           (3)
                   S                 Γ
т. е. поток вихря векторного поля через поверхность S равен
циркуляции векторного поля по контуру, ограничивающему
эту поверхность.
    При этом ориентации S и Γ согласованы по «правилу што-
пора».
   Формула (3) называется формулой Стокса.

Страницы