Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.2. Формула Остроградского–Гаусса 101
используя результат шага 1, имеем
ZZZ
G
div~a dx dy dz =
m
z
X
m=1
ZZZ
G
z,m
div~a dx dy dz =
=
m
z
X
m=1
ZZ
∂G
z,m
(~a,~n
(m)
) dS =
ZZ
∂G
(~a,~n) dS.
Здесь ~n
(m)
— единичный вектор внешней нормали к гра-
нице ∂G
z,m
области G
z,m
. При получении последнего равен-
ства учтено, что на общей части ∂G
z,m
∩ ∂G
z,p
границ двух
Oz-простых областей G
z,m
и G
z,p
(m 6= p) внешние нормали
~n
(m)
и ~n
(p)
противоположны. Поэтому сумма потоков вектора
~a через эту общую часть границы в направлениях ~n
(m)
и ~n
(p)
равна нулю.
Следовательно, в последней сумме интегралы по ∂G
z,m
можно заменить интегралами по ∂G ∩ ∂G
z,m
. Поскольку
S
m
z
m=1
(∂G ∩G
z,m
) = ∂G, мы приходим к последнему равенству
последней цепочки равенств.
Таким образом, утверждение теоремы для~a = R
~
k, а вместе
с ним и для общего случая векторного поля ~a, установлено.
Получим одно следствие формулы Остроградского–Гаусса.
Пусть векторное поле ~a = P~ı + Q~ + R
~
k непрерывно вместе с
производными P
0
x
, Q
0
y
, R
0
z
в некоторой окрестности U (M ) точки
M ∈ R
3
. Пусть B
ε
— шар радиуса ε > 0 с центром в точке
M, ∂B
ε
— поверхность шара, ~n — единичный вектор внешней
нормали к ∂B
ε
. Тогда при всех достаточно малых ε > 0
ZZZ
B
ε
div~a dx dy dz =
ZZ
∂B
ε
(~a,~n) dS.
В силу теоремы о среднем для некоторой точки M
ε
∈ B
ε
div~a(M
ε
) =
1
µB
ε
ZZ
∂B
ε
(~a,~n) dS,
а в силу непрерывности div~a
div~a(M) = lim
ε→0
1
µB
ε
ZZ
∂B
ε
(~a,~n) dS. (3)
            § 23.2. Формула Остроградского–Гаусса                             101

используя результат шага 1, имеем
ZZZ                   mz Z Z Z
                      X
     div~a dx dy dz =           div~a dx dy dz =
    G                 m=1        Gz,m

                       Xmz      ZZ                               ZZ
                                                  (m)
                      =                  (~a,~n         ) dS =         (~a,~n) dS.
                          m=1    ∂Gz,m                            ∂G

    Здесь ~n(m) — единичный вектор внешней нормали к гра-
нице ∂Gz,m области Gz,m . При получении последнего равен-
ства учтено, что на общей части ∂Gz,m ∩ ∂Gz,p границ двух
Oz-простых областей Gz,m и Gz,p (m 6= p) внешние нормали
~n(m) и ~n(p) противоположны. Поэтому сумма потоков вектора
~a через эту общую часть границы в направлениях ~n(m) и ~n(p)
равна нулю.
    Следовательно, в последней сумме интегралы по ∂Gz,m
можно
Smz      заменить интегралами по ∂G ∩ ∂Gz,m . Поскольку
  m=1 (∂G   ∩ Gz,m ) = ∂G, мы приходим к последнему равенству
последней цепочки равенств.
    Таким образом, утверждение теоремы для ~a = R~k, а вместе
с ним и для общего случая векторного поля ~a, установлено.
    Получим одно следствие формулы Остроградского–Гаусса.
Пусть векторное поле ~a = P~ı + Q~ + R~k непрерывно вместе с
производными Px0 , Q0y , Rz0 в некоторой окрестности U (M ) точки
M ∈ R3 . Пусть Bε — шар радиуса ε > 0 с центром в точке
M , ∂Bε — поверхность шара, ~n — единичный вектор внешней
нормали к ∂Bε . Тогда при всех достаточно малых ε > 0
               ZZZ                     ZZ
                      div~a dx dy dz =      (~a,~n) dS.
                 Bε                          ∂Bε
В силу теоремы о среднем для некоторой точки Mε ∈ Bε
                               ZZ
                            1
              div~a(Mε ) =           (~a,~n) dS,
                           µBε   ∂Bε

а в силу непрерывности div~a
                                        ZZ
                                 1
              div~a(M ) = lim                     (~a,~n) dS.                 (3)
                            ε→0 µBε        ∂Bε

Страницы