Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 100 стр.

100             Глава 23. Скалярные и векторные поля

   Пусть ~a = P~ı + Q~ + R~k — непрерывное векторное поле на
        ∂Q ∂R
G, ∂P
   ∂x , ∂y , ∂z непрерывны на G.
      Тогда справедлива формула (2).

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем рассматривать лишь поле
вида ~a = R~k, т. к. случаи полей P~ı, Q~ рассматриваются ана-
логично, а из доказательства формулы (2) во всех трех случаях
следует утверждение теоремы.
   1-й ш а г. Пусть область G является Oz-простой (см.
определение 1). Тогда, сводя тройной интеграл к повторному
и используя формулу Ньютона–Лейбница, получаем
ZZZ                     ZZZ
                               ∂R
      div~a dx dy dz =              dx dy dz =
    G                        G ∂z
                    ZZ     Z ψ(x,y)        !
                                    ∂R
                 =                      dz dx dy =
            ZZ         D    ϕ(x,y) ∂z      ZZ
          =          R(x, y, ψ(x, y)) dx dy −                R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.
               D                                         D

   Пусть S1 — нижняя, S2 — верхняя, S0 — боковая сторона
поверхности ∂G. Ориентируем их с помощью единичного век-
тора ~n внешней (по отношению к G) нормали.
   Тогда из последней цепочки равенств получаем, что
ZZZ
       div~a dx dy dz =
    G       ZZ                       ZZ
         =        R(x, y, z) dx dy +    R(x, y, z) dx dy =
              S~2n                              S~n
                         ZZ                    Z Z1                   ZZ
                     =          (~a,~n) dS +           (~a,~n) dS +         (~a,~n) dS,
                           S2                     S1                   S0

поскольку последнее слагаемое равно нулю, т. к. (~a,~n) = 0 на
S0 . Следовательно, в условиях шага 1 формула (2) справед-
лива.
    2-й ш а г. Пусть условия теоремы выполнены при ~a = R~k
и τz = {Gz,m }mz
              m=1 — разбиение G из условия теоремы. Тогда,