Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 98 стр.

98            Глава 23. Скалярные и векторные поля

величине равен производной по этому направлению. Обсужда-
емая независимость дивергенции и вихря векторного поля бу-
дут получены в качестве следствий соответственно из теоремы
Остроградского–Гаусса и теоремы Стокса.
   Оператор ∇, применяемый к скалярному или векторному
полю, действует, с одной стороны, как оператор дифференци-
рования, а с другой — как обычный вектор. Выработаны фор-
мальные правила преобразований выражений, содержащих ∇,
основанные на разделении этих ролей. Приведем пример таких
преобразований, разъяснения к которому будут даны вслед за
ним:

rot(f~a) = ∇ × (f~a) =
          ↑     ↓        ↑    ↓     ↑ ↓           ↑   ↓
       = ∇ × (f~a) + ∇ × (f~a) = (∇f ) ×~a + f (∇ × ~a) =
                    = (∇f ) ×~a + f (∇ ×~a) = grad f +~a + f rot~a.


   Здесь f — скалярная, ~a — векторная функции. Стрелка ↑
означает, что мы «снимаем» операцию дифференцирования с
∇, перенося ее (что показывается стрелкой ↓) на объект дей-
ствия ∇, т. е. на произведение f~a. Дифференцирование ↓ про-
изведения проводится по правилу Лейбница. Применяем пра-
вила действия
        ↓      с обычными векторами  ↑
                                       (перенос числового мно-
жителя f или f ), стараясь сблизить ∇ с множителем, снабжен-
ным стрелкой ↓. Снимаем все стрелки.
    Обоснование этих преобразований можно получить на сле-
дующем пути. Представим ∇ в виде ∇ = ∇1 + ∇2 + ∇3 , где
        ∂ , ∇ = ~ ∂ , ∇ = ~k ∂ . Такое представление озна-
∇1 = ~ı ∂x    2    ∂y   3     ∂z
чает, что результат действия ∇ на числовую или векторную
функцию равен сумме результатов действий на эту функцию
∇1 , ∇2 и ∇3 . Приведенные же формальные операции, если за-
менить в них ∇ на ∇1 , или на ∇2 , или на ∇3 , превращаются
в неформальные и хорошо известные. Остается провести их и
результат записать в желаемой форме.