Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.2. Формула Остроградского–Гаусса 99
§ 23.2. Формула Остроградского–Гаусса
Определение 1. Область G ⊂ R
3
вида
G = {(x, y, z) : ϕ(x, y) < z < ψ(x, y), (x, y) ∈ D} (1)
назовем простой относительно оси Oz (короче: Oz-простой),
если D — ограниченная плоская область, ∂D — простой ку-
сочно гладкий контур, функции ϕ, ψ непрерывны на D и не-
прерывно дифференцируемы на D, ϕ < ψ на D.
Как видим, граница ∂G = S
1
∪ S
2
∪ S
0
состоит из нижней
S
1
, верхней S
2
и боковой S
0
частей, причем нижняя и верхняя
части являются явно заданными почти гладкими кусками по-
верхности, а боковая часть — частью цилиндрической поверх-
ности с образующей, параллельной оси Oz и направляющей
∂D. Граница ∂G представляет собой кусочно гладкую поверх-
ность, состоящую из трех или более кусков.
Будем считать принятыми также и аналогичные определе-
ния Ox-простой области и Oy-простой области.
Пусть в R
3
задана измеримая область G, граница ∂G ко-
торой состоит из конечного числа попарно непересекающихся
кусочно гладких пове рхностей, ~n — единичный вектор внеш-
ней нормали к ∂G.
Пусть в замыкании G области G задано непрерывное век-
торное поле ~a = P~ı + Q~ + R
~
k, для которого
∂P
∂x
,
∂Q
∂y
,
∂R
∂z
не-
прерывны на G.
Нашей целью будет доказать равенство
ZZZ
G
div~a =
ZZ
∂G
(~a,~n) dS (2)
при некоторых дополнительных условиях, налагаемых
на область G. Это равенство называется формулой
Остроградского–Гаусса.
Теорема 1 (Остроградского–Гаусса). Пусть для
замкнутой области G существуют три разбиения: τ
x
=
= {G
x,m
}
m
x
m=1
, τ
y
= {G
y,m
}
m
y
m=1
, τ
z
= {G
z,m
}
m
z
m=1
, где G
x,m
, G
y,m
,
G
z,m
соответственно Ox-простые, Oy-простые и Oz-простые
области.
             § 23.2. Формула Остроградского–Гаусса               99

       § 23.2. Формула Остроградского–Гаусса
   Определение 1. Область G ⊂ R3 вида
       G = {(x, y, z) : ϕ(x, y) < z < ψ(x, y), (x, y) ∈ D}      (1)
назовем простой относительно оси Oz (короче: Oz-простой),
если D — ограниченная плоская область, ∂D — простой ку-
сочно гладкий контур, функции ϕ, ψ непрерывны на D и не-
прерывно дифференцируемы на D, ϕ < ψ на D.
     Как видим, граница ∂G = S1 ∪ S2 ∪ S0 состоит из нижней
S1 , верхней S2 и боковой S0 частей, причем нижняя и верхняя
части являются явно заданными почти гладкими кусками по-
верхности, а боковая часть — частью цилиндрической поверх-
ности с образующей, параллельной оси Oz и направляющей
∂D. Граница ∂G представляет собой кусочно гладкую поверх-
ность, состоящую из трех или более кусков.
     Будем считать принятыми также и аналогичные определе-
ния Ox-простой области и Oy-простой области.
     Пусть в R3 задана измеримая область G, граница ∂G ко-
торой состоит из конечного числа попарно непересекающихся
кусочно гладких поверхностей, ~n — единичный вектор внеш-
ней нормали к ∂G.
     Пусть в замыкании G области G задано непрерывное век-
                                                    ∂Q ∂R
торное поле ~a = P~ı + Q~ + R~k, для которого ∂P
                                               ∂x , ∂y , ∂z не-
прерывны на G.
   Нашей целью будет доказать равенство
               ZZZ           ZZ
                     div~a =     (~a,~n) dS                     (2)
                        G           ∂G
при некоторых дополнительных условиях, налагаемых
на область G.      Это равенство называется формулой
Остроградского–Гаусса.
   Теорема 1 (Остроградского–Гаусса).                  Пусть для
замкнутой области G существуют три разбиения: τx =
                           my
= {Gx,m }m                                   mz
         m=1 , τy = {Gy,m }m=1 , τz = {Gz,m }m=1 , где Gx,m , Gy,m ,
          x

Gz,m соответственно Ox-простые, Oy-простые и Oz-простые
области.

Страницы