Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§23.1. Скалярные и векторные поля 97
Если
~
b = (b
x
, b
y
, b
z
) — произвольный фиксированный век-
тор, то вектор
(
~
b, ∇)~a B b
x
∂~a
∂x
+ b
y
∂~a
∂y
+ b
z
∂~a
∂z
называется градиентом вектора ~a по вектору
~
b.
Если поле ~a = (a
x
, a
y
, a
z
) дифференцируемо в некоторой
точке, то число
div~a B
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
называется дивергенцией (или расходимостью) поля ~a в этой
точке.
Символически можно записать
div~a = (∇,~a).
Ротором или вихрем векторного поля ~a в данной точке на-
зывается вектор
rot~a B ∇ ×~a =
~ı ~
~
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
a
x
a
y
a
z
B
B~ı
∂a
z
∂y
−
∂a
y
∂z
+~
∂a
x
∂z
−
∂a
z
∂x
+
~
k
∂a
y
∂x
−
∂a
x
∂y
.
Пусть Γ — кусочно гладкий контур в области G. Интеграл
Z
Γ
a
x
dx + a
y
dy + a
z
dz C
Z
Γ
(~a, d~r)
называется циркуляцией векторного поля ~a = (a
x
, a
y
, a
z
) по
контуру Γ.
Ни градиент скалярного поля, ни дивергенция, ни вихрь
векторного поля не зависят от сдвига и поворота декартовой
системы координат. Это утверждение можно доказать как
непосредственными вычислениями, так и на основе геометри-
ческих соображений. Например, градиент функции, как из-
вестно, направлен в сторону быстрейшего роста функции и по
             § 23.1. Скалярные и векторные поля             97

   Если ~b = (bx , by , bz ) — произвольный фиксированный век-
тор, то вектор
                                ∂~a      ∂~a      ∂~a
               (~b, ∇)~a B bx       + by     + bz
                                ∂x       ∂y       ∂z
называется градиентом вектора ~a по вектору ~b.
   Если поле ~a = (ax , ay , az ) дифференцируемо в некоторой
точке, то число
                            ∂ax ∂ay      ∂az
                 div~a B          +    +
                             ∂x     ∂y    ∂z
называется дивергенцией (или расходимостью) поля ~a в этой
точке.
   Символически можно записать
                           div~a = (∇,~a).

   Ротором или вихрем векторного поля ~a в данной точке на-
зывается вектор
                   ~ı   ~ ~k
rot~a B ∇ ×~a = ∂x ∂ ∂ ∂ B
                      ∂y ∂z
                  ax ay az
                                                      
               ∂az    ∂ay         ∂ax ∂az    ~   ∂ay   ∂ax
         B~ı        −       +~      −      +k       −       .
               ∂y     ∂z          ∂z   ∂x        ∂x    ∂y
   Пусть Γ — кусочно гладкий контур в области G. Интеграл
            Z                         Z
               ax dx + ay dy + az dz C (~a, d~r)
               Γ                             Γ

называется циркуляцией векторного поля ~a = (ax , ay , az ) по
контуру Γ.
   Ни градиент скалярного поля, ни дивергенция, ни вихрь
векторного поля не зависят от сдвига и поворота декартовой
системы координат. Это утверждение можно доказать как
непосредственными вычислениями, так и на основе геометри-
ческих соображений. Например, градиент функции, как из-
вестно, направлен в сторону быстрейшего роста функции и по

Страницы