Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§22.2. Поверхностные интегралы второго рода 95
Определение 4. Потоком непрерывного векторного поля
~a(x, y, z) = 0~ı + 0~ + R(x, y, z)
~
k через почти гладкий кусок по-
верхности (1) в направлении нормали −f
0
x
~ı−f
0
y
~+
~
k называется
ZZ
D
R(x, y, f (x, y)) dx dy. (7)
Это определение обобщает определение потока данного век-
торного поля, введенное в случае явно заданного гладкого
куска поверхности (см. (5) при P ≡ Q ≡ 0, (u, v) = (x, y)).
Можно показать, что поток вектора ~a через поверхность
S (6) в направлении указанной нормали, вычисленный в повер-
нутой координатной системе O˜x˜y˜z как поток через явно задан-
ный гладкий кусок поверхности
˜
S, совпадает с интегралом (7).
Другой довод в пользу естественности такого обобщения (7)
состоит в следующем. Пусть S
ε
— часть поверхности (6)
S
ε
= {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D
ε
},
где ε > 0, D
ε
= {(x, y) ∈ D: dist((x, y), ∂D) > ε}.
Тогда S
ε
— гладкий кусок поверхности и поток вектора
R
~
k через S
ε
в направлении той же нормали равен (согласно
определению 1):
ZZ
D
ε
R(x, y, f (x, y)) dx dy.
Последний интеграл при ε → 0 стремится к (7) в силу не-
прерывности R(x, y, f (x, y)) на D и стремления µ(D \D
ε
) → 0.
Наряду с определениями 1, 2 будем считать принятыми
и аналогичные определения почти гладких кусков поверхно-
сти, заданных в явном виде формулами x = g(y, z) или y =
= h(z, x) и соответственно потоков непрерывных векторных
полей P (x, y, z)~ı, Q(x, y, z)~.
Определение 5. Расширим понятие кусочно гладкой по-
верхности, считая, что наравне с гладкими кусками она может
содержать и явно заданные почти гладкие куски.
         § 22.2. Поверхностные интегралы второго рода            95

    Определение 4. Потоком непрерывного векторного поля
~a(x, y, z) = 0~ı + 0~ + R(x, y, z)~k через почти гладкий кусок по-
верхности (1) в направлении нормали −fx0~ı−fy0~+~k называется
                        ZZ
                            R(x, y, f (x, y)) dx dy.             (7)
                       D
   Это определение обобщает определение потока данного век-
торного поля, введенное в случае явно заданного гладкого
куска поверхности (см. (5) при P ≡ Q ≡ 0, (u, v) = (x, y)).
   Можно показать, что поток вектора ~a через поверхность
S (6) в направлении указанной нормали, вычисленный в повер-
нутой координатной системе Ox̃ỹz̃ как поток через явно задан-
ный гладкий кусок поверхности S̃, совпадает с интегралом (7).
   Другой довод в пользу естественности такого обобщения (7)
состоит в следующем. Пусть Sε — часть поверхности (6)
                Sε = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ Dε },
где ε > 0, Dε = {(x, y) ∈ D: dist((x, y), ∂D) > ε}.
    Тогда Sε — гладкий кусок поверхности и поток вектора
R~k через Sε в направлении той же нормали равен (согласно
определению 1):
                   ZZ
                         R(x, y, f (x, y)) dx dy.
                       Dε
   Последний интеграл при ε → 0 стремится к (7) в силу не-
прерывности R(x, y, f (x, y)) на D и стремления µ(D \ Dε ) → 0.
   Наряду с определениями 1, 2 будем считать принятыми
и аналогичные определения почти гладких кусков поверхно-
сти, заданных в явном виде формулами x = g(y, z) или y =
= h(z, x) и соответственно потоков непрерывных векторных
полей P (x, y, z)~ı, Q(x, y, z)~.
   Определение 5. Расширим понятие кусочно гладкой по-
верхности, считая, что наравне с гладкими кусками она может
содержать и явно заданные почти гладкие куски.

Страницы