Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 93 стр.

          § 22.2. Поверхностные интегралы второго рода               93

   Определение 1. Потоком вектор-функции ~a через ори-
ентированную поверхность S~ν (говорят также: через поверх-
ность S в направлении ~ν) называется поверхностный интеграл
первого рода             ZZ
                                   (~a,~ν) dS.                      (3)
                               S
    В силу свойств поверхностных интегралов пер-
вого рода этот интеграл существует,                  если функ-
ции      P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),
R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) как функции (u, v) интегрируемы
на D, в частности, если P , Q, R непрерывны на S.
    Интеграл (2) меняет знак при замене ориентации ~ν на −~ν,
т. е. на противоположную.
    Интеграл (3), вычисляемый через двойной интеграл на
области D изменения параметров, не зависит от допустимой
замены параметров, сохраняющих ориентацию поверхности.
     Определение 2. Интеграл (3) называют поверхностным
интегралом второго рода от вектор-функции ~a по ориентиро-
ванной поверхности S~ν .
     В случае положительно ориентированной поверхности S +
(~ν = ~n) поверхностный интеграл второго рода по S + обознача-
ется символом
ZZ
       P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy B
    S+
                                                    ZZ
                                                 B       (~a,~n) dS. (4)
                                                      S

    В силу определения 21.1.2 поверхностного интеграла пер-
вого рода и (2) имеем
ZZ
      P dy dz + Q dz dx + R dx dy =
    +
   SZ
      Z
 =       [P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dS =
       S
                ZZ 
                                                     ∂(y, z)
             =         P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))         +
                    S                                ∂(u, v)