Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

92 Глава 22. Поверхностные интегралы
мулы (21.2.4), (21.5.3), получаем различные виды записи dS:
dS = |~r
0
u
×~r
0
v
|du dv =
=
s
∂(y, z)
∂(u, v)
2
+
∂(z, x)
∂(u, v)
2
∂(x, y)
∂(u, v)
2
du dv =
=
p
EG − F
2
du dv,
где E, F , G — коэффициенты первой квадратичной формы.
Поверхностный интеграл первого рода по кусочно гладкой
поверхности S =
S
I
i=1
S
i
(см. §21.7) определяется как сумма
поверхностных интегралов по каждому из кусков S
i
(1 6 i 6 I).
Аналогично площадь кусочно-гладкой поверхности S =
=
S
I
i=1
S
i
определяется как сумма
I
P
i=1
µS
i
площадей каждого
из кусков.
§ 22.2. Поверхностные интегралы второго рода
Пусть в R
3
задана гладкая поверхность
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}, (1)
где D — измеримая область.
По определению ~r
0
u
, ~r
0
v
— непрерывны на D, ~r
0
u
×~r
0
v
6=
~
0 на
D.
Ориентируем S с помощью выбора непрерывного вектор-
ного поля единичных нормалей ~ν = ±~n и обозначим через S
~ν
,
где
~n =
~r
0
u
×~r
0
v
|~r
0
u
×~r
0
v
|
= (cos α, cos β, cos γ). (2)
В случае ~ν = ~n поверхность S
~n
будем называть ориентиро-
ванной положительно и обозначать также через S
+
, в случае
~ν = −~n поверхность S
−~n
будем называть ориентированной от-
рицательно и обозначать также через S
−
.
Пусть на поверхности S задано векторное поле ~a(x, y, z) =
= P (x, y, z)~ı + Q(x, y, z) · + R(x, y, z)
~
k.
92              Глава 22. Поверхностные интегралы

мулы (21.2.4), (21.5.3), получаем различные виды записи dS:
dS = |~r0u ×~r0v | du dv =
           s
                  ∂(y, z) 2     ∂(z, x) 2 ∂(x, y) 2
                                                
         =                  +                         du dv =
                  ∂(u, v)       ∂(u, v)     ∂(u, v)
                                                    p
                                                 = EG − F 2 du dv,
где E, F , G — коэффициенты первой квадратичной формы.
   ПоверхностныйSинтеграл первого рода по кусочно гладкой
поверхности S = Ii=1 Si (см. § 21.7) определяется как сумма
поверхностных интегралов по каждому из кусков Si (1 6 i 6 I).
   Аналогично площадь кусочно-гладкой поверхности S =
   SI                              PI
= i=1 Si определяется как сумма       µSi площадей каждого
                                        i=1
из кусков.

     § 22.2. Поверхностные интегралы второго рода
     Пусть в R3 задана гладкая поверхность
                    S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D},                  (1)
где D — измеримая область.
    По определению ~r0u , ~r0v — непрерывны на D, ~r0u ×~r0v 6= ~0 на
D.
    Ориентируем S с помощью выбора непрерывного вектор-
ного поля единичных нормалей ~ν = ±~n и обозначим через S~ν ,
где
                       ~r0 ×~r0v
                 ~n = u0           = (cos α, cos β, cos γ).       (2)
                      |~ru ×~r0v |
    В случае ~ν = ~n поверхность S~n будем называть ориентиро-
ванной положительно и обозначать также через S + , в случае
~ν = −~n поверхность S −~n будем называть ориентированной от-
рицательно и обозначать также через S − .
    Пусть на поверхности S задано векторное поле ~a(x, y, z) =
= P (x, y, z)~ı + Q(x, y, z) ·  + R(x, y, z)~k.

Страницы