Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 Глава 22. Поверхностные интегралы
Пусть гладкая поверхность S (1) имеет другое представле-
ние
S = {~ρ(u
1
, v
1
), (u
1
, v
1
) ∈ D
1
},
где D
1
— измеримая область,
~ρ(u
1
, v
1
) =~r(u(u
1
, v
1
), v(u
1
, v
1
)) =
= (ϕ(u
1
, v
1
), ψ(u
1
, v
1
), χ(u
1
, v
1
)),
а
(
u = u(u
1
, v
1
)
v = v(u
1
, v
1
)
— допустимая замена параметра на S. То-
гда с помощью формулы (21.3.3) и теоремы 19.5.2 получаем,
что
ZZ
D
1
F (ϕ(u
1
, v
1
), ψ(u
1
, v
1
), χ(u
1
, v
1
))|~ρ
0
u
1
×~ρ
0
v
1
|du
1
dv
1
=
=
ZZ
D
1
F (ϕ(u
1
, v
1
), ψ(u
1
, v
1
), χ(u
1
, v
1
))|~r
0
u
×~r
0
v
|
∂(u, v)
∂(u
1
, v
1
)
du
1
dv
1
=
=
ZZ
D
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r
0
u
×~r
0
v
|du dv.
Определение 2. Площадью гладкой поверхности S (1)
называется число
µS B
ZZ
S
dS =
ZZ
D
|~r
0
u
×~r
0
v
|du dv. (3)
В силу свойств 1
◦
и 2
◦
площадь гладкой поверхности S
существует и не зависит от параметризации поверхности (при
допустимой замене параметров).
Приведем соображения в пользу естественности определе-
ния площади поверхности формулой (3). Рассмотрим разбие-
ние плоскости R
2
u,v
на квадраты ранга m ∈ N:
Q
(k)
j,k
= {(u, v),
j − 1
2
m
6 u 6
j
2
m
,
k − 1
2
m
6 v 6
k
2
m
}, j, k ∈ Z.
Перенумеруем непустые пересечения D ∩Q
j,k
и переобозна-
чим их через E
i
, 1 6 i 6 i
m
. Получим разбиение τ
m
= {E
i
}
i
m
i=1
90                     Глава 22. Поверхностные интегралы

   Пусть гладкая поверхность S (1) имеет другое представле-
ние
               S = {~ρ(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ D1 },
где D1 — измеримая область,
~ρ(u1 , v1 ) = ~r(u(u1 , v1 ), v(u1 , v1 )) =
                                        = (ϕ(u1 , v1 ), ψ(u1 , v1 ), χ(u1 , v1 )),
  (
    u = u(u1 , v1 )
а                      — допустимая замена параметра на S. То-
    v = v(u1 , v1 )
гда с помощью формулы (21.3.3) и теоремы 19.5.2 получаем,
что
ZZ
    F (ϕ(u1 , v1 ), ψ(u1 , v1 ), χ(u1 , v1 ))|~ρ0u1 ×~ρ0v1 | du1 dv1 =
D1
     ZZ
                                                                    ∂(u, v)
=         F (ϕ(u1 , v1 ), ψ(u1 , v1 ), χ(u1 , v1 ))|~r0u ×~r0v |               du1 dv1 =
                                                                   ∂(u1 , v1 )
     D1
                               ZZ
                           =            F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r0u ×~r0v | du dv.
                               D

   Определение 2. Площадью гладкой поверхности S (1)
называется число
                  ZZ      ZZ
             µS B    dS =    |~r0u ×~r0v | du dv. (3)
                                    S             D

   В силу свойств       и      1◦        2◦
                            площадь гладкой поверхности S
существует и не зависит от параметризации поверхности (при
допустимой замене параметров).
   Приведем соображения в пользу естественности определе-
ния площади поверхности формулой (3). Рассмотрим разбие-
ние плоскости R2u,v на квадраты ранга m ∈ N:
      (k)         j−1           j  k−1          k
     Qj,k = {(u, v),m
                        6u6 m,        m
                                         6 v 6 m }, j, k ∈ Z.
                   2           2    2          2
   Перенумеруем непустые пересечения D ∩ Qj,k и переобозна-
чим их через Ei , 1 6 i 6 im . Получим разбиение τm = {Ei }ii=1
                                                              m

Страницы