Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 88 стр.

88            Глава 21. Элементы теории поверхностей

      Такое согласование ради краткости также будем называть
согласованием по «правилу штопора».
      Таким образом, задание ориентации куска поверхности
S (1) равносильно заданию ориентации его края ∂S (являюще-
гося кусочно гладким контуром). Поэтому ориентацию края
∂S также будем называть ориентацией S.
      Пусть теперь S~1ν 1 и S~2ν 2 — два соседних куска поверхно-
сти, каждый из которых ориентирован каким-либо способом
(одним из двух). Их ориентации ~ν 1 , ~ν 2 будем называть со-
гласованными, если каждая из них на любой кусочно гладкой
кривой из ∂S1 ∩ ∂S2 порождает противоположные ориентации.
   SОпределение        3.      Кусочно гладкая поверхность S =
      I
= i=1 Si называется ориентируемой, если существуют такие
ориентации ~ν 1 , . . . , ~ν I кусков поверхности S1 , . . . , SI , что
ориентации ~ν i и ~ν j любых двух соседних кусков поверхности
Si и Sj согласованы.
      Совокупность ~ν = {~ν i } таких ориентаций кусков поверх-
ности Si (1 6 i 6 I), если она существует, называется ори-
ентацией ~ν поверхности S. Совокупность противоположных
ориентаций (−~ν i ) кусков Si (1 6 i 6 I) называется при этом
противоположной ориентацией поверхности S.
      Ориентируемая кусочно гладкая поверхность S, у которой
фиксирована одна (из двух) ее ориентаций ~ν, называется ори-
ентированной; обозначим ее через S~ν .
      Край ориентированной кусочно гладкой поверхности (с
краем) состоит из конечного числа контуров. Любой из этих
контуров представляет собой объединение конечного числа
кривых, каждая из которых является частью одного из ори-
ентированных контуров ∂Si и потому сама имеет ориентацию.
      Можно показать, что совокупность ориентаций всех таких
кривых определяет ориентацию всех контуров из ∂S. Совокуп-
ность этих ориентаций контуров из ∂S называется ориента-
цией края ∂S, порожденной заданной ориентацией поверхности
S~ν .