Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 22
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 22.1. Поверхностные интегралы первого рода
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана глад-
кая поверхность
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}, (1)
где D — плоская измеримая область. Согласно определе-
нию 21.1.4 ~r
0
u
, ~r
v
— непрерывны на D, ~r
0
u
×~r
0
v
6=
~
0 на D.
В определении допустимой замены параметров (u, v) по-
верхности (1) (u = u(u
1
, v
1
), v = v(u
1
, v
1
), (u
1
, v
1
) ∈ D) будем
теперь включать еще дополнительное требование измеримо-
сти области D
1
.
Определение 1. Пусть числовая функция F : E → R за-
дана на S. Тогда
ZZ
S
F (x, y, z) dS B
B
ZZ
D
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r
0
u
×~r
0
v
|du dv (2)
называется поверхностным интегралом первого рода от
функции F по поверхности S.
Установим некоторые свойства поверхностного инте-
грала (2).
1.
◦
Для существования интеграла
RR
S
F (z, y, z) dS
необходимо и достаточно, чтобы функция
F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (как функция переменных
u, v) была интегрируемой на D.
В частности, если F непрерывна на S (см. опред еле-
ние 10.5.2), то
RR
S
F (z, y, z) dS существует.
2.
◦
Поверхностный интеграл первого рода (2) не зависит
от параметризации гладкой поверхности (1) (при ко-
торой область изменения параметров измерима).
               Глава 22
      ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

  § 22.1. Поверхностные интегралы первого рода
   Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана глад-
кая поверхность
                     S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D},                           (1)
где D — плоская измеримая область. Согласно определе-
нию 21.1.4 ~r0u , ~rv — непрерывны на D, ~r0u ×~r0v 6= ~0 на D.
   В определении допустимой замены параметров (u, v) по-
верхности (1) (u = u(u1 , v1 ), v = v(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ D) будем
теперь включать еще дополнительное требование измеримо-
сти области D1 .
   Определение 1. Пусть числовая функция F : E → R за-
дана на S. Тогда
ZZ
    F (x, y, z) dSZB
                   Z
  S
              B         F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|~r0u ×~r0v | du dv   (2)
                    D
называется поверхностным интегралом первого рода от
функции F по поверхности S.
   Установим некоторые свойства поверхностного инте-
грала (2).
   1.◦ Для
                                                 RR
               существования         интеграла      S F (z, y, z) dS
       необходимо        и     достаточно,     чтобы      функция
       F (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (как функция переменных
       u, v) была интегрируемой на D.
       В частности, если  RR F непрерывна на S (см. определе-
       ние 10.5.2), то S F (z, y, z) dS существует.
   2.◦ Поверхностный интеграл первого рода (2) не зависит
       от параметризации гладкой поверхности (1) (при ко-
       торой область изменения параметров измерима).

Страницы