Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.7. Кусочно гладкие поверхности 87
но плоской области D. Тогда его ориентация индуцирует ори-
ентацию края ∂S (который как образ ∂D является кусочно
гладким контуром в R
3
). Эта ориентация края ∂S называ-
ется согласованной с ориентацией ~n =
~r
0
u
×~r
v
|~r
0
u
×~r
0
v
|
гладкого куска
поверхности. Противоположная же ориентация края ∂S назы-
вается согласованной с ориентацией −~n гла дкого куска поверх-
ности S.
Выясним геометрический смысл этого понятия согласован-
ности. Пусть S — явно заданный кусок поверхности S (21.2.6),
причем D — круг малого радиуса, ∂D — окружность, функ-
ция f непрерывно дифференцируема на D. При положитель-
ной ориентации контура (окружности) ∂D относительно D эта
окружность проходится против часовой стрелки.
Край ∂S лежит на боковой поверхности кругового цилин-
дра с осью, параллельной оси Oz, и проекцией ∂S на плоскость
z = 0 является ∂D. Ориентация ∂S определяется тем, что при
движении точки по ∂S в направлении, задаваемом этой ориен-
тацией, проекция этой точки движется по ∂D против часовой
стрелки.
В то же время нормаль ~n =
−f
0
x
~ı − f
0
y
~ +
~
k
q
1 + f
02
n
+ f
02
y
составляет
острый угол с положительным направлением оси Oz.
Таким образом, ориентация ~n куска поверхности S согла-
сована с ориентацией ∂S по «правилу штопора» (штопор дви-
жется в направлении ~n, если его ручка вращается в соответ-
ствии с ориентацией ∂S).
Это же согласование ориентаций можно выразить иначе:
если мы движемся по контуру ∂S в направлении его ориен-
тации так, что нормаль ~n пронизывает нас с ног до головы,
то ближайшая часть куска поверхности S остается слева. По-
следняя формулировка носит более общий характер, т. к. при-
менима к произвольному явно заданному куску поверхности, а
значит, и к произвольному параметрически заданному куску
поверхности, т. к. каждый такой кусок поверхности локально
можно представить в виде явно заданного куска поверхности.
              § 21.7. Кусочно гладкие поверхности                 87

но плоской области D. Тогда его ориентация индуцирует ори-
ентацию края ∂S (который как образ ∂D является кусочно
гладким контуром в R3 ). Эта ориентация края ∂S называ-
                                          ~r0u ×~rv
ется согласованной с ориентацией ~n =                  гладкого куска
                                         |~r0u ×~r0v |
поверхности. Противоположная же ориентация края ∂S назы-
вается согласованной с ориентацией −~n гладкого куска поверх-
ности S.
   Выясним геометрический смысл этого понятия согласован-
ности. Пусть S — явно заданный кусок поверхности S (21.2.6),
причем D — круг малого радиуса, ∂D — окружность, функ-
ция f непрерывно дифференцируема на D. При положитель-
ной ориентации контура (окружности) ∂D относительно D эта
окружность проходится против часовой стрелки.
   Край ∂S лежит на боковой поверхности кругового цилин-
дра с осью, параллельной оси Oz, и проекцией ∂S на плоскость
z = 0 является ∂D. Ориентация ∂S определяется тем, что при
движении точки по ∂S в направлении, задаваемом этой ориен-
тацией, проекция этой точки движется по ∂D против часовой
стрелки.
                                    −f 0~ı − fy0~ + ~k
   В то же время нормаль ~n = q x                       составляет
                                         1 + fn02 + fy02
острый угол с положительным направлением оси Oz.
   Таким образом, ориентация ~n куска поверхности S согла-
сована с ориентацией ∂S по «правилу штопора» (штопор дви-
жется в направлении ~n, если его ручка вращается в соответ-
ствии с ориентацией ∂S).
   Это же согласование ориентаций можно выразить иначе:
если мы движемся по контуру ∂S в направлении его ориен-
тации так, что нормаль ~n пронизывает нас с ног до головы,
то ближайшая часть куска поверхности S остается слева. По-
следняя формулировка носит более общий характер, т. к. при-
менима к произвольному явно заданному куску поверхности, а
значит, и к произвольному параметрически заданному куску
поверхности, т. к. каждый такой кусок поверхности локально
можно представить в виде явно заданного куска поверхности.

Страницы