Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.7. Кусочно гладкие поверхности 85
§ 21.7. Кусочно гладкие поверхности
В дальнейшем будет использовано понятие кусочно гладкой
поверхности, которое приведем здесь для простейшего случая.
Определение 1. Гладкую параметрически заданную по-
верхность
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} (1)
назовем элементарным гладким куском поверхности (сокра-
щенно — гладким куском или куском поверхности), если гра-
ница ∂D представляет собой простой кусочно гладкий контур.
Краем ∂S куска поверхности S (1) назовем
∂S B {~r(u, v), (u, v) ∈ ∂D}. (2)
Край ∂S куска поверхности представляет собой, очевидно,
кусочно гладкий контур в R
3
.
Два куска поверхности
S
i
= {~r
i
(u, v), (u, v) ∈ D
i
}, i = 1, 2,
назовем соседними, если пересечение их краев S
1
∩ S
2
= ∂S
1
∩
∩ ∂S
2
6= ∅ представляет собой объединение конечного числа
кусочно гладких кривых и, быть может, конечного числа то-
чек.
Определение 2. Объединение S =
I
T
i=1
S
i
кусков поверхно-
сти S
i
(1 6 i 6 I) называется кусочно гладкой поверхностью
при выполнении следующих условий:
1.
◦
для любых двух кусков поверхности S
i
и S
j
существует
такой набор кусков поверхности S
i
= S
i
1
, S
i
2
, . . . , S
i
j
=
= S
j
, что любые два стоящие в нем рядом куска поверх-
ности являются соседними;
2.
◦
если при i 6= j пересечение ∂S
i
∩∂S
j
содержит более чем
конечное множество точек, то куски поверхности S
i
и S
j
являются соседними;
3.
◦
пересечение краев ∂S
i
∩∂S
j
∩∂S
k
любых трех различных
кусков поверхности состоит не более чем из конечного
числа точек.
Для каждого куска S
j
кусочно гладкой поверхности S обо-
значим через ∂
(i)
S
j
часть его края ∂S
j
, состоящую из объеди-
нения всех кусочно гладких кривых из
S
k6=i
(∂S
k
∩∂S
j
). Назовем
              § 21.7. Кусочно гладкие поверхности                85

         § 21.7. Кусочно гладкие поверхности
   В дальнейшем будет использовано понятие кусочно гладкой
поверхности, которое приведем здесь для простейшего случая.
   Определение 1. Гладкую параметрически заданную по-
верхность
                   S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}                  (1)
назовем элементарным гладким куском поверхности (сокра-
щенно — гладким куском или куском поверхности), если гра-
ница ∂D представляет собой простой кусочно гладкий контур.
   Краем ∂S куска поверхности S (1) назовем
                 ∂S B {~r(u, v), (u, v) ∈ ∂D}.                 (2)
   Край ∂S куска поверхности представляет собой, очевидно,
кусочно гладкий контур в R3 .
   Два куска поверхности
            Si = {~ri (u, v), (u, v) ∈ Di }, i = 1, 2,
назовем соседними, если пересечение их краев S1 ∩ S2 = ∂S1 ∩
∩ ∂S2 6= ∅ представляет собой объединение конечного числа
кусочно гладких кривых и, быть может, конечного числа то-
чек.                                        TI
   Определение 2. Объединение S =              Si кусков поверхно-
                                           i=1
сти Si (1 6 i 6 I) называется кусочно гладкой поверхностью
при выполнении следующих условий:
   1.◦ для любых двух кусков поверхности Si и Sj существует
       такой набор кусков поверхности Si = Si1 , Si2 , . . . , Sij =
       = Sj , что любые два стоящие в нем рядом куска поверх-
       ности являются соседними;
     ◦
   2. если при i 6= j пересечение ∂Si ∩∂Sj содержит более чем
       конечное множество точек, то куски поверхности Si и Sj
       являются соседними;
   3.◦ пересечение краев ∂Si ∩∂Sj ∩∂Sk любых трех различных
       кусков поверхности состоит не более чем из конечного
       числа точек.
   Для каждого куска Sj кусочно гладкой поверхности S обо-
значим через ∂ (i) Sj часть его края ∂Sj ,Sсостоящую из объеди-
нения всех кусочно гладких кривых из         (∂Sk ∩ ∂Sj ). Назовем
                                          k6=i

Страницы