Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности 83
§ 21.5. Первая квадратичная форма гладкой
поверхности
Пусть
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}
— гладкая параметрически заданная поверхность. Это озна-
чает по определению, что ~r
0
u
, ~r
0
v
непрерывны на замкнутой
области D и ~r
0
u
×~r
0
v
6=
~
0 на D.
Рассмотрим дифференциал вектор-функции ~r:
d~r =~r
0
u
du +~r
0
v
dv.
Тогда
|d~r|
2
= |~r
0
u
du +~r
0
v
dv|
2
= |~r
0
u
|
2
du
2
+ 2(~r
0
u
,~r
v
) du dv + |~r
0
v
|
2
dv
2
.
В обозначениях
E = |~r
0
u
|
2
, F = (~r
0
u
,~r
v
), G = |~r
0
v
|
2
, (1)
|d~r|
2
= |~r
0
u
du +~r
0
v
dv|
2
= E du
2
+ 2F du dv + G dv
2
. (2)
Определение 1. Квадратичная форма Edu
2
+ 2F du dv +
+ Gdv
2
называется первой квадратичной формой поверхно-
сти, E, F , G — ее коэффициентами.
Первая квадратичная форма положительно определённа,
т. к. |d~r|
2
= 0 только при du = 0, dv = 0. Следовательно,
дискриминант ее EG − F
2
> 0.
Кроме того, E > 0, G > 0.
Заметим, что
EG − F
2
= |~r
0
u
×~r
0
v
|
2
, (3)
т. к. если ω — угол между ~r
0
u
и ~r
0
v
, то
EG − F
2
= |~r
0
u
|
2
|~r
0
v
|
2
− |~r
0
u
|
2
|~r
0
v
|
2
cos
2
ω =
= |~r
0
u
|
2
|~r
0
v
|
2
sin
2
ω = |~r
0
u
×~r
0
v
|
2
.
C помощью коэффициентов квадратичной формы поверхно-
сти можно вычислять площадь поверхности, длины кривых на
поверхности и углы между такими кривыми.
      § 21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности                             83

      § 21.5. Первая квадратичная форма гладкой
                      поверхности
    Пусть
                     S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}
— гладкая параметрически заданная поверхность. Это озна-
чает по определению, что ~r0u , ~r0v непрерывны на замкнутой
области D и ~r0u ×~r0v 6= ~0 на D.
   Рассмотрим дифференциал вектор-функции ~r:
                               d~r = ~r0u du +~r0v dv.

    Тогда
  |d~r|2 = |~r0u du +~r0v dv|2 = |~r0u |2 du2 + 2(~r0u ,~rv ) du dv + |~r0v |2 dv 2 .

    В обозначениях
                  E = |~r0u |2 ,    F = (~r0u ,~rv ),       G = |~r0v |2 ,             (1)
         |d~r|2 = |~r0u du +~r0v dv|2 = E du2 + 2F du dv + G dv 2 .                    (2)
    Определение 1. Квадратичная форма Edu2 + 2F du dv +
+ Gdv 2 называется первой квадратичной формой поверхно-
сти, E, F , G — ее коэффициентами.
    Первая квадратичная форма положительно определённа,
т. к. |d~r|2 = 0 только при du = 0, dv = 0. Следовательно,
дискриминант ее EG − F 2 > 0.
    Кроме того, E > 0, G > 0.
    Заметим, что
                             EG − F 2 = |~r0u ×~r0v |2 ,                               (3)
т. к. если ω — угол между ~r0u и ~r0v , то
EG − F 2 = |~r0u |2 |~r0v |2 − |~r0u |2 |~r0v |2 cos2 ω =
                                               = |~r0u |2 |~r0v |2 sin2 ω = |~r0u ×~r0v |2 .

   C помощью коэффициентов квадратичной формы поверхно-
сти можно вычислять площадь поверхности, длины кривых на
поверхности и углы между такими кривыми.

Страницы