Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности 81
Заметим, что не всякую параметрически заданную глад-
кую поверхность (1) можно представить в виде явно заданной
поверхности с помощью замены параметров (u, v) на (x, y), или
на (y, z), или на (z, x). Это невозможно сделать, в частности,
для поверхности S
ε
, ε > 0, из примера 21.1.1, которая не про-
ектируется взаимно однозначно ни на одну из координатных
плоскостей.
Однако локально такое преобразование параметров ос уще-
ствить можно. В самом деле, поскольку на D
|~r
0
u
×~r
0
v
|
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
=
=
∂(y, z)
∂(u, v)
2
+
∂(z, x)
∂(u, v)
2
+
∂(x, y)
∂(u, v)
2
> 0,
то в произвольной точке (u
0
, v
0
) ∈ D один из трех якобианов
отличен от нуля. Пусть, например,
∂(x, y)
∂(u, v)
(u
0
,v
0
)
6= 0. Тогда по
теореме 12.3.3 о локальной обратимости отображения найдутся
две окрестности U (u
0
, v
0
) и U(x
0
, y
0
) (где x
0
= x(u
0
, v
0
), y
0
=
= y(u
0
, v
0
)) такие, что отображение
(
x = x(u, v)
y = y(u, v)
является
взаимно однозначным отображением U(u
0
, v
0
) ↔ U(x
0
, y
0
),
причем обратное отображение
(
u = u(x, y)
v = v(x, y)
непрерывно диф-
ференцируемо на U(x
0
, y
0
) и якобиан его
∂(x, y)
∂(u, v)
6= 0 на
U(x
0
, y
0
). Сужая при необходимости указанные окрестности,
можем каждую из них считать областью (см. теорему 12.3.4).
Тогда часть
S
(0)
= {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U(u
0
, v
0
)}
поверхности (1) после замены параметров (u, v) на (x, y) имеет
представление
S
(0)
= {(x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ U(x
0
, y
0
)},
где f(x, y) = z(u(x, y), v(x, y)).
     § 21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности            81

   Заметим, что не всякую параметрически заданную глад-
кую поверхность (1) можно представить в виде явно заданной
поверхности с помощью замены параметров (u, v) на (x, y), или
на (y, z), или на (z, x). Это невозможно сделать, в частности,
для поверхности Sε , ε > 0, из примера 21.1.1, которая не про-
ектируется взаимно однозначно ни на одну из координатных
плоскостей.
   Однако локально такое преобразование параметров осуще-
ствить можно. В самом деле, поскольку на D
|~r0u ×~r0v |2 = A2 + B 2 + C 2 =
                           ∂(y, z) 2     ∂(z, x) 2     ∂(x, y) 2
                                                          
                      =              +             +             > 0,
                           ∂(u, v)       ∂(u, v)       ∂(u, v)
то в произвольной точке (u0 , v0 ) ∈ D один из трех якобианов
                                           ∂(x, y)
отличен от нуля. Пусть, например, ∂(u, v)                  6= 0. Тогда по
                                                 (u0 ,v0 )
теореме 12.3.3 о локальной обратимости отображения найдутся
две окрестности U (u0 , v0 ) и U (x0 , y0 ) (где
                                            ( x0 = x(u0 , v0 ), y0 =
                                              x = x(u, v)
= y(u0 , v0 )) такие, что отображение                            является
                                              y = y(u, v)
взаимно однозначным отображением (           U (u0 , v0 ) ↔ U (x0 , y0 ),
                                   u = u(x, y)
причем обратное отображение                           непрерывно диф-
                                   v = v(x, y)
                                                        ∂(x, y)
ференцируемо на U (x0 , y0 ) и якобиан его ∂(u, v) 6= 0 на
U (x0 , y0 ). Сужая при необходимости указанные окрестности,
можем каждую из них считать областью (см. теорему 12.3.4).
Тогда часть
       S (0) = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U (u0 , v0 )}
поверхности (1) после замены параметров (u, v) на (x, y) имеет
представление
             S (0) = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ U (x0 , y0 )},
где f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y)).

Страницы