Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 82 стр.

82           Глава 21. Элементы теории поверхностей

      § 21.4. Ориентация гладкой поверхности
   Пусть S — гладкая параметрически заданная поверх-
ность (21.3.1). Тогда единичный нормальный вектор
                               ~r0u ×~r v
                        ~n =                             (1)
                                |~r0u ×~r0v |
является непрерывной функцией на D, равно как и вектор −~n.
   Функцию ~n(и −~n) называют непрерывным полем единич-
ных нормалей поверхности S.
   Определение 1.           Всякое непрерывное поле единич-
ных нормалей гладкой поверхности S называется ориентацией
(или стороной) поверхности S.
   Поверхность S (21.3.1), как имеющая две различных ориен-
тации (стороны) ±~n, называется двусторонней поверхностью.
   Одна из этих двух ориентаций называется положительной,
а другая — отрицательной. Для определенности за положи-
тельную ориентацию гладкой поверхности (21.3.1) (если не
оговорено противное) будем понимать поле нормалей (1).
   Поверхность S (21.3.1), у которой фиксирована одна из
ее ориентаций, называется ориентированной поверхностью.
Ориентированную поверхность S (21.3.1) с положительной
ориентацией будем обозначать через S + , а с отрицательной
ориентацией — через S − .
   При замене параметров гладкой ориентированной поверх-
ности в понятие допустимой замены параметров наряду с тре-
бованиями 1◦ , 2◦ , 3◦ включим еще требование
       ∂(u, v)
    4.◦ ∂(u , v ) > 0 на D1 .
           1 1
   Тогда, как видно из (21.2.2), при замене параметров глад-
кой поверхности выполняются не только свойства a), b) и c),
но еще и свойство
d) сохраняется ориентация поверхности (т. е. положительно
   ориентированная поверхность при новом ее представле-
   нии остается положительно ориентированной, а отрица-
   тельно ориентированная остается отрицательно ориентиро-
   ванной).