Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

80 Глава 21. Элементы теории поверхностей
— гладкая параметрически заданная поверхность, так что
вектор-функция ~r непрерывно дифференцируема на D и ~r
0
u
×
×~r
0
v
6=
~
0.
Рассмотрим отображение
F
(
u = ϕ(u
1
, v
1
)
v = ψ(u
1
, v
1
)
)
: D
1
→ D, (2)
где D
1
— область, и параметрически заданную поверхность
˜
S = {~ρ(u
1
, v
1
), (u
1
, v
1
) ∈ D
1
},
где ~ρ(u
1
, v
1
) =~r(ϕ(u
1
, v
1
), ψ(u
1
, v
1
)).
Будем считать поверхность
˜
S той же, что и S, но иначе
параметризованной, ес ли замена параметров (2) является до-
пустимой, т. е. обладает свойствами:
1.
◦
F устанавливает взаимно однозначные отображения
D
1
↔ D, D
1
↔ D, ∂D
1
↔ ∂D;
2.
◦
F непрерывно дифференцируемо на D
1
(т. е. ϕ, ψ не-
прерывно дифференцируемы на D
1
), обратное отобра-
жение F
−1
непрерывно дифференцируемо на D;
3.
◦
∂(u, v)
∂(u
1
, v
1
)
6= 0 на D
1
,
∂(u
1
, v
1
)
∂(u, v)
6= 0 на D.
Замечая, что
~ρ
0
u
1
=~r
0
u
ϕ
0
u
1
+~r
0
v
ψ
0
u
1
, ~ρ
0
v
1
=~r
0
u
ϕ
0
v
1
+~r
0
v
ψ
0
v
1
,
имеем
~ρ
0
u
1
×~ρ
0
v
1
=
∂(u, v)
∂(u
1
, v
1
)
~r
0
u
×~r
0
v
. (3)
Поскольку каждый из якобианов в 3
◦
ограничен, а их про-
изведение
∂(u, v)
∂(u
1
, v
1
)
·
∂(u
1
, v
1
)
∂(u, v)
= 1 (см. (12.3.5)), то якобиан
∂(u, v)
∂(u
1
, v
1
)
6= 0 на D
1
. Поэтому из (3) следует, что при допу-
стимом преобразовании параметров:
a) неособая точка переходит в неособую,
b) гладкая параметрически заданная поверхность переходит в
гладкую параметрически заданную поверхность,
c) нормальная прямая и касательная плоскость с охраняются.
Подчеркнем еще, что отображение, обратное допустимому
также, очевидно, является допустимым.
80             Глава 21. Элементы теории поверхностей
— гладкая параметрически заданная поверхность, так что
вектор-функция ~r непрерывно дифференцируема на D и ~r0u ×
×~r0v 6= ~0.
    Рассмотрим отображение
                  (                 )
                    u = ϕ(u1 , v1 )
               F                      : D1 → D,         (2)
                    v = ψ(u1 , v1 )
где D1 — область, и параметрически заданную поверхность
                     S̃ = {~ρ(u1 , v1 ), (u1 , v1 ) ∈ D1 },
где ~ρ(u1 , v1 ) = ~r(ϕ(u1 , v1 ), ψ(u1 , v1 )).
    Будем считать поверхность S̃ той же, что и S, но иначе
параметризованной, если замена параметров (2) является до-
пустимой, т. е. обладает свойствами:
    1.◦ F устанавливает взаимно однозначные отображения
        D1 ↔ D, D1 ↔ D, ∂D1 ↔ ∂D;
      ◦
    2. F непрерывно дифференцируемо на D1 (т. е. ϕ, ψ не-
        прерывно дифференцируемы на D1 ), обратное отобра-
        жение F −1 непрерывно дифференцируемо на D;
         ∂(u, v)                    ∂(u , v )
     3.◦ ∂(u , v ) 6= 0 на D1 , ∂(u,
                                  1 1
                                     v)
                                        6= 0 на D.
            1 1
     Замечая, что
           ~ρ0u1 = ~r0u ϕ0u1 +~r0v ψu0 1 ,   ~ρ0v1 = ~r0u ϕ0v1 +~r0v ψv0 1 ,
имеем
                             ∂(u, v) 0
                     ~ρ0u1 ×~ρ0v1 =    ~r ×~r0v .        (3)
                            ∂(u1 , v1 ) u
     Поскольку каждый из якобианов в 3◦ ограничен, а их про-
              ∂(u, v)   1 1 ∂(u , v )
изведение ∂(u , v ) · ∂(u, v)
                                         = 1 (см. (12.3.5)), то якобиан
             1 1
 ∂(u, v)
∂(u1 , v1 )
            6= 0 на D1 . Поэтому из (3) следует, что при допу-
стимом преобразовании параметров:
a) неособая точка переходит в неособую,
b) гладкая параметрически заданная поверхность переходит в
   гладкую параметрически заданную поверхность,
c) нормальная прямая и касательная плоскость сохраняются.
   Подчеркнем еще, что отображение, обратное допустимому
также, очевидно, является допустимым.

Страницы