Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности 79
Поверхность
S = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D}, (6)
где функция f непрерывна на замкнутой области D, называ-
ется явно заданной поверхностью. Это важный частный слу-
чай параметрически за данной поверхности (2).
Явно заданная поверхность является, очевидно, простой.
Если при этом функция f непрерывно дифференцируема на
D, то (6) называется гладкой явно заданной поверхностью.
Для ~r(x, y) = (x, y, f (x, y))
~r
0
x
= (1, 0, f
0
x
), ~r
0
y
= (0, 1, f
0
y
),
~r
0
x
×~r
0
y
=
~ı ~
~
k
1 0 f
0
x
0 1 f
0
y
= −f
0
x
~ı −f
0
y
~ +
~
k 6= 0. (7)
Уравнение (3) касательной плоскости в точке
(x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)) принимает вид
x −x
0
y − y
0
z − z
0
1 0 f
0
x
0 1 f
0
y
= 0,
или иначе
z − z
0
= (x −x
0
)f
0
x
(x
0
, y
0
) + (y − y
0
)f
0
y
(x
0
, y
0
), (8)
а уравнение нормальной прямой в точке (x
0
, y
0
, f (x
0
, y
0
)) — вид
x − x
0
f
0
x
(x
0
, y
0
)
=
y − y
0
f
0
y
(x
0
, y
0
)
= −(z − z
0
). (9)
§ 21.3. Преобразование параметров гладкой
поверхности
Изучим вопрос о преобразовании (замене) параметров на
гладкой поверхности. Пусть D — плоская область,
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} (1)
     § 21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности                 79

    Поверхность
                   S = {(x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D},                    (6)
где функция f непрерывна на замкнутой области D, называ-
ется явно заданной поверхностью. Это важный частный слу-
чай параметрически заданной поверхности (2).
   Явно заданная поверхность является, очевидно, простой.
   Если при этом функция f непрерывно дифференцируема на
D, то (6) называется гладкой явно заданной поверхностью.
   Для ~r(x, y) = (x, y, f (x, y))
                    ~r0x = (1, 0, fx0 ), ~r0y = (0, 1, fy0 ),

                              ~ı ~ ~k
                 ~r0x ×~r0y = 1 0 fx0 = −fx0~ı − fy0~ + ~k 6= 0.         (7)
                               0 1 fy0
     Уравнение           (3)    касательной      плоскости        в     точке
(x0 , y0 , f (x0 , y0 )) принимает вид
                        x − x0 y − y0 z − z0
                          1      0      fx0  = 0,
                          0      1      fy0
или иначе
          z − z0 = (x − x0 )fx0 (x0 , y0 ) + (y − y0 )fy0 (x0 , y0 ),     (8)
а уравнение нормальной прямой в точке (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) — вид
                  x − x0               y − y0
                  0
                                 =    0
                                                     = −(z − z0 ).        (9)
                 fx (x0 , y0 )       fy (x0 , y0 )


     § 21.3. Преобразование параметров гладкой
                     поверхности
   Изучим вопрос о преобразовании (замене) параметров на
гладкой поверхности. Пусть D — плоская область,
                        S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}                        (1)

Страницы