Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78 Глава 21. Элементы теории поверхностей
форме уравнение (2) принимает вид
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
0
u
y
0
u
z
0
u
x
0
v
y
0
v
z
0
v
= 0, (3)
где ~r = (x, y, z), ~r
0
= (x
0
, y
0
, z
0
), ~r
0
u
= (x
0
u
, y
0
u
, z
0
u
), ~r
0
v
=
= (x
0
v
, y
0
v
, z
0
v
).
Определение. Прямая, проходящая через точку касания
поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная ка-
сательной плоскости, называется нормальной прямой к поверх-
ности в указанной точке.
Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный
нормальной прямой, проходящей через данную точку поверх-
ности, называется нормалью к поверхности в этой точке.
Нормалью к гладкой поверхности (21.1.3) в данной точке
является, например, вектор
~r
0
u
×~r
0
v
=
~ı ~
~
k
x
0
u
y
0
u
z
0
u
x
0
v
y
0
v
z
0
v
= A~ı + B~ + C
~
k, (4)
вычисленный в этой точке, где
A =
∂(y, z)
∂(u, v)
, B =
∂(z, x)
∂(u, v)
, C =
∂(x, y)
∂(u, v)
.
Поэтому уравнение нормальной прямой имеет вид
x − x
0
A
=
y − y
0
B
=
z − z
0
C
,
или в подробной записи
x − x
0
y
0
u
z
0
u
y
0
v
z
0
v
=
y − y
0
z
0
u
x
0
u
z
0
v
x
0
v
=
z − z
0
x
0
u
y
0
u
x
0
v
y
0
v
, (5)
где x
0
= x(u
0
, v
0
), y
0
= y(u
0
, v
0
), z
0
= z(u
0
, v
0
), а производные
x
0
u
, x
0
v
, y
0
u
, y
0
v
, z
0
u
, z
0
v
вычислены в точке (u
0
, v
0
).
78             Глава 21. Элементы теории поверхностей

форме уравнение (2) принимает вид
                       x − x0 y − y0 z − z0
                         x0u    yu0    zu0  = 0,                        (3)
                         x0v    yv0    zv0
где ~r = (x, y, z), ~r0 = (x0 , y0 , z0 ), ~r0u = (x0u , yu0 , zu0 ), ~r0v =
= (x0v , yv0 , zv0 ).
   Определение. Прямая, проходящая через точку касания
поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная ка-
сательной плоскости, называется нормальной прямой к поверх-
ности в указанной точке.
   Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный
нормальной прямой, проходящей через данную точку поверх-
ности, называется нормалью к поверхности в этой точке.
   Нормалью к гладкой поверхности (21.1.3) в данной точке
является, например, вектор
                            ~ı ~ ~k
               ~r0u ×~r0v = x0u yu0 zu0 = A~ı + B~ + C~k,              (4)
                            x0v yv0 zv0
вычисленный в этой точке, где
                  ∂(y, z)           ∂(z, x)           ∂(x, y)
            A=            ,   B=            ,   C=            .
                  ∂(u, v)           ∂(u, v)           ∂(u, v)
   Поэтому уравнение нормальной прямой имеет вид
                  x − x0   y − y0    z − z0
                         =         =          ,
                     A         B        C
или в подробной записи
                 x − x0    y − y0     z − z0
                         =         =            ,                       (5)
                   0  0
                 y u zu      0
                           zu xu 0    x0u yu0
                 yv0 zv0   zv0 x0v    x0v yv0
где x0 = x(u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), z0 = z(u0 , v0 ), а производные
x0u , x0v , yu0 , yv0 , zu0 , zv0 вычислены в точке (u0 , v0 ).

Страницы