Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая 77
0 6 ϕ 6 2π, −
π
2
+ ε 6 ψ 6
π
2
− ε}, R > 0, 0 6 ε <
π
2
,
(сфера при ε = 0, сферический пояс при ε > 0) является непре-
рывно дифференцируемой параметрически заданной поверхно-
стью, а при ε > 0 — гладкой параметрически заданной поверх-
ностью.
Мы будем рассматривать далее гладкие параметрически
заданные поверхности или поверхности, составленные из ко-
нечного числа таких поверхностей.
§ 21.2. Касательная плоскость и нормальная
прямая
Определение. Плоскость, проходящая через точку
{(u
0
, v
0
), ˆr(u
0
, v
0
)} гладкой поверхности (21.1.3) параллельно
векторам ~r
0
u
(u
0
, v
0
), ~r
0
v
(u
0
, v
0
), называется касательной плос-
костью к поверхности в этой точке.
Пусть (u
0
, v
0
) ∈ D, {(u(t), v(t)), a 6 t 6 b} — гладкая кри-
вая, u(t
0
) = u
0
, v(t
0
) = v
0
при некотором t
0
, a < t
0
< b. Тогда
{~r(u(t), v(t)) (u(t), v(t)) ∈ D, a 6 t 6 b} (1)
— гладкая кривая, лежащая на поверхности и проходящая че-
рез данную точку {(u
0
, v
0
), ˆr(u
0
, v
0
)} поверхности. Касатель-
ный вектор этой кривой в точке {t
0
, ˆr(u
0
, v
0
)} имеет вид
~r
0
t
(t
0
) =~r
0
u
(u
0
, v
0
)u
0
t
(t
0
) +~r
v
(u
0
, v
0
)v
0
t
(t
0
),
т. е. является линейной комбинацией векторов~r
0
u
, ~r
0
v
, а значит,
параллелен касательной плоскости.
Следовательно, касательные по всем таким кривым (1) в
точке {t
0
, ˆr(u
0
, v
0
)} лежат в касательной плоскости к поверх-
ности в точке {(u
0
, v
0
), ˆr(u
0
, v
0
)}.
Исходя из определения касательной плоскости к поверхно-
сти, можно написать ее уравнение в векторной форме:
(~r −~r
0
,~r
0
u
,~r
0
v
) = 0. (2)
Здесь~r
0
— радиус-вектор точки касания,~r — текущий радиус-
вектор точек на касательной плоскости. В координатной
       § 21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая                      77
                       π           π                      π
         0 6 ϕ 6 2π, −   + ε 6 ψ 6 − ε}, R > 0, 0 6 ε < ,
                       2           2                      2
(сфера при ε = 0, сферический пояс при ε > 0) является непре-
рывно дифференцируемой параметрически заданной поверхно-
стью, а при ε > 0 — гладкой параметрически заданной поверх-
ностью.
   Мы будем рассматривать далее гладкие параметрически
заданные поверхности или поверхности, составленные из ко-
нечного числа таких поверхностей.

    § 21.2. Касательная плоскость и нормальная
                      прямая
   Определение.                 Плоскость, проходящая через точку
{(u0 , v0 ), r̂(u0 , v0 )} гладкой поверхности (21.1.3) параллельно
векторам ~r0u (u0 , v0 ), ~r0v (u0 , v0 ), называется касательной плос-
костью к поверхности в этой точке.
   Пусть (u0 , v0 ) ∈ D, {(u(t), v(t)), a 6 t 6 b} — гладкая кри-
вая, u(t0 ) = u0 , v(t0 ) = v0 при некотором t0 , a < t0 < b. Тогда
             {~r(u(t), v(t)) (u(t), v(t)) ∈ D, a 6 t 6 b}                     (1)
— гладкая кривая, лежащая на поверхности и проходящая че-
рез данную точку {(u0 , v0 ), r̂(u0 , v0 )} поверхности. Касатель-
ный вектор этой кривой в точке {t0 , r̂(u0 , v0 )} имеет вид
            ~r0t (t0 ) = ~r0u (u0 , v0 )u0t (t0 ) +~rv (u0 , v0 )vt0 (t0 ),
т. е. является линейной комбинацией векторов ~r0u , ~r0v , а значит,
параллелен касательной плоскости.
    Следовательно, касательные по всем таким кривым (1) в
точке {t0 , r̂(u0 , v0 )} лежат в касательной плоскости к поверх-
ности в точке {(u0 , v0 ), r̂(u0 , v0 )}.
    Исходя из определения касательной плоскости к поверхно-
сти, можно написать ее уравнение в векторной форме:
                             (~r −~r0 ,~r0u ,~r0v ) = 0.                      (2)
Здесь~r0 — радиус-вектор точки касания,~r — текущий радиус-
вектор точек на касательной плоскости. В координатной

Страницы