Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§21.1. Гладкие поверхности 75
Частная производная ~r
0
u
= ~r(u
0
, v
0
) определяется равен-
ством
~r
0
u
(u
0
, v
0
) ≡
∂~r
∂u
(u
0
, v
0
) =
d~r(u, v
0
)
du
u=u
0
.
Аналогично определяется и другая частная производная
~r
0
v
≡
∂~r
∂v
и частные производные высших порядков.
Понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и
другие можно сформулировать эквивалентным образом в тер-
минах координатных функций (ср. §8.1).
Часто в качестве области определения E ⊂ R
2
вектор-
функции (1) будем брать замкнутую область (т. е. замыкание
области). В этом случае будем говорить, что производная ~r
0
u
непрерывна на замыкании D области D, если она непрерывна
на области D, и функция ~r
0
u
после подходящего доопределения
на границе ∂D становится непрерывной на D. То же относится
и к другим производным вектор-функции ~r.
Определение 1. Множество точек S ⊂ R
3
вместе с кон-
кретным его описанием
S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈
D}, (2)
где замкнутая область D ⊂ R
2
, а функции x, y, z непрерывны
на D, будем называть (параметрически заданной) поверхно-
стью
1
.
Переменные u, v называются параметрами поверхности (2)
или ее координатами.
Ту же поверхность можно задать в виде
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} или S = {ˆr(u, v), (u, v) ∈ D},
где ~r(u, v) B (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Точкой поверхности S
называют пару {(u, v), ˆr(u, v)}, а (u, v) — координатами этой
точки. Ради краткости точку ˆr(u, v) ∈ R
3
часто также назы-
вают точкой поверхности S.
1
С общей точки зрения (2) естественнее было бы называть (параметри-
чески заданным) куском поверхности, оставив термин «(параметрически
заданная) поверхность» за множеством, формально отличающимся от (2)
лишь заменой замкнутой области D на область D. Мы будем придержи-
ваться предложенной терминологии ради простоты записи.
                   § 21.1. Гладкие поверхности                      75

     Частная производная ~r0u = ~r(u0 , v0 ) определяется равен-
ством
                               ∂~r              d~r(u, v0 )
             ~r0u (u0 , v0 ) ≡     (u0 , v0 ) =                  .
                               ∂u                   du      u=u0
     Аналогично определяется и другая частная производная
       ∂~r и частные производные высших порядков.
~r0v ≡ ∂v
     Понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и
другие можно сформулировать эквивалентным образом в тер-
минах координатных функций (ср. § 8.1).
     Часто в качестве области определения E ⊂ R2 вектор-
функции (1) будем брать замкнутую область (т. е. замыкание
области). В этом случае будем говорить, что производная ~r0u
непрерывна на замыкании D области D, если она непрерывна
на области D, и функция ~r0u после подходящего доопределения
на границе ∂D становится непрерывной на D. То же относится
и к другим производным вектор-функции ~r.
   Определение 1. Множество точек S ⊂ R3 вместе с кон-
кретным его описанием
            S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D},          (2)
где замкнутая область D ⊂        R2 ,
                             а функции x, y, z непрерывны
на D, будем называть (параметрически заданной) поверхно-
стью 1 .
   Переменные u, v называются параметрами поверхности (2)
или ее координатами.
   Ту же поверхность можно задать в виде
    S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}    или S = {r̂(u, v), (u, v) ∈ D},
где ~r(u, v) B (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Точкой поверхности S
называют пару {(u, v), r̂(u, v)}, а (u, v) — координатами этой
точки. Ради краткости точку r̂(u, v) ∈ R3 часто также назы-
вают точкой поверхности S.
   1
     С общей точки зрения (2) естественнее было бы называть (параметри-
чески заданным) куском поверхности, оставив термин «(параметрически
заданная) поверхность» за множеством, формально отличающимся от (2)
лишь заменой замкнутой области D на область D. Мы будем придержи-
ваться предложенной терминологии ради простоты записи.

Страницы