Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 21. Элементы теории поверхностей
В определении 1 не исключается, что через некоторую
точку M ∈ R
3
поверхность «проходит» не один раз, т. е. что
при некоторых (u
1
, v
1
), (u
2
, v
2
) ∈ D
ˆr(u
1
, v
1
) = ˆr(u
2
, v
2
) = M.
Поверхность S (2) называется простой, если отображение
ˆr(u, v): D → S является взаимно однозначным.
Определение 2. Поверхность S (2) называется непре-
рывно дифференцируемой, если функции x, y, z непрерывно
дифференцируемы на D.
Пусть
S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} (3)
— непрерывно дифференцируемая поверхность, (u
0
, v
0
) ∈ D.
Заметим, что пересечение D с прямой v = v
0
содержит, во
всяком случае при (u
0
, v
0
) ∈ D, некоторый интервал, которому
принадлежит точка (u
0
, v
0
).
Множество
{~r(u, v
0
), (u, v
0
) ∈ D}
называется координатной линией v = v
0
. Вектор ~r
0
u
=
∂~r
∂u
=
= (x
0
u
, y
0
u
, z
0
u
) является ее касательным вектором. Аналогично
определяется координатная линия
{~r(u
0
, v), (u
0
, v) ∈ D}
с касательным вектором
~r
0
v
=
∂~r
∂v
= (x
0
v
, y
0
v
, z
0
v
).
Определение 3. Точка {(u, v), ˆr(u, v)} непрерывно диф-
ференцируемой поверхности (3) называется неособой, если в
ней ~r
0
u
×~r
0
v
6=
~
0 (т. е. векторы ~r
0
u
, ~r
0
v
не коллинеарны). В про-
тивном случае эта точка называется особой.
Определение 4. Непрерывно дифференцируемая (параме-
трически заданная) поверхность без особых точек называется
гладкой (параметрически заданной) поверхностью.
Пример 1. Поверхность
S
ε
= {(R cos ϕ cos ψ, R sin ϕ cos ψ, R sin ψ),
76            Глава 21. Элементы теории поверхностей

   В определении 1 не исключается, что через некоторую
точку M ∈ R3 поверхность «проходит» не один раз, т. е. что
при некоторых (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ D
                     r̂(u1 , v1 ) = r̂(u2 , v2 ) = M.
    Поверхность S (2) называется простой, если отображение
r̂(u, v): D → S является взаимно однозначным.
   Определение 2. Поверхность S (2) называется непре-
рывно дифференцируемой, если функции x, y, z непрерывно
дифференцируемы на D.
   Пусть
                          S = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}            (3)
— непрерывно дифференцируемая поверхность, (u0 , v0 ) ∈ D.
Заметим, что пересечение D с прямой v = v0 содержит, во
всяком случае при (u0 , v0 ) ∈ D, некоторый интервал, которому
принадлежит точка (u0 , v0 ).
   Множество
                           {~r(u, v0 ), (u, v0 ) ∈ D}
называется координатной линией v = v0 . Вектор ~r0u = ∂u     ∂~r =

= (x0u , yu0 , zu0 ) является ее касательным вектором. Аналогично
определяется координатная линия
                       {~r(u0 , v), (u0 , v) ∈ D}
с касательным вектором
                               ∂~r
                      ~r0v =       = (x0v , yv0 , zv0 ).
                               ∂v
   Определение 3. Точка {(u, v), r̂(u, v)} непрерывно диф-
ференцируемой поверхности (3) называется неособой, если в
ней ~r0u ×~r0v 6= ~0 (т. е. векторы ~r0u , ~r0v не коллинеарны). В про-
тивном случае эта точка называется особой.
   Определение 4. Непрерывно дифференцируемая (параме-
трически заданная) поверхность без особых точек называется
гладкой (параметрически заданной) поверхностью.
   Пример 1. Поверхность
Sε = {(R cos ϕ cos ψ, R sin ϕ cos ψ, R sin ψ),

Страницы