Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 21.1. Гладкие поверхности
Для описания и изучения поверхностей будем пользоваться
вектор-функциями двух переменных. В соответствии с общим
определением функции (отображения) будем говорить, что на
множестве E ⊂ R
2
задана вектор-функция ~r: E → R
3
, если
каждой точке (u, v) ∈ E поставлен в соответствие трехмерный
вектор
~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R
3
. (1)
Здесь R
2
, R
3
— евклидовы пространства, числовые функции
x, y, z называют координатными функциями.
Аналогично соответствующим понятиям вектор-функции
одной переменной и числовой функции двух переменных вво-
дятся понятия предела, непрерывности, дифференцируемости
и др.
Вектор ~a называется пределом вектор-функции ~r (1) при
(u, v) → (u
0
, v
0
) по множеству E, если (u
0
, v
0
) — предельная
точка множества E и
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |~r(u, v) −~a| < ε
∀(u, v) ∈ E ∩
˚
U
δ
(u
0
, v
0
).
При этом пишут
lim
E3(u,v)→(u
0
,v
0
)
~r(u, v) =~a,
а если при этом
˚
U
δ
(u
0
, v
0
) ⊂ E при некотором δ > 0, то пишут
lim
(u,v)→(u
0
,v
0
)
~r(u, v) =~a.
Функцию ~r называют непрерывной в предельной точке
(u
0
, v
0
) ∈ E, если
lim
E3(u,v)→(u
0
,v
0
)
~r(u, v) =~r(u
0
, v
0
).
                   Глава 21
              ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
                ПОВЕРХНОСТЕЙ

               § 21.1. Гладкие поверхности
    Для описания и изучения поверхностей будем пользоваться
вектор-функциями двух переменных. В соответствии с общим
определением функции (отображения) будем говорить, что на
множестве E ⊂ R2 задана вектор-функция ~r: E → R3 , если
каждой точке (u, v) ∈ E поставлен в соответствие трехмерный
вектор
             ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 .   (1)
         2   3
Здесь R , R — евклидовы пространства, числовые функции
x, y, z называют координатными функциями.
    Аналогично соответствующим понятиям вектор-функции
одной переменной и числовой функции двух переменных вво-
дятся понятия предела, непрерывности, дифференцируемости
и др.
    Вектор ~a называется пределом вектор-функции ~r (1) при
(u, v) → (u0 , v0 ) по множеству E, если (u0 , v0 ) — предельная
точка множества E и
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |~r(u, v) −~a| < ε
                                                ∀ (u, v) ∈ E ∩ Ůδ (u0 , v0 ).
   При этом пишут
                            lim         ~r(u, v) = ~a,
                    E3(u,v)→(u0 ,v0 )

а если при этом Ůδ (u0 , v0 ) ⊂ E при некотором δ > 0, то пишут
                            lim     ~r(u, v) = ~a.
                      (u,v)→(u0 ,v0 )

     Функцию ~r называют непрерывной в предельной точке
(u0 , v0 ) ∈ E, если
                      lim         ~r(u, v) = ~r(u0 , v0 ).
                E3(u,v)→(u0 ,v0 )

Страницы