Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава 20. Криволинейные интегралы
2.
◦
если область G поверхностно односвязна, а в плоском
случае (G ⊂ R
2
, R ≡ 0, P = P (x, y), Q = Q(x, y)) —
односвязна, и rot~a =
~
0 в G, то поле ~a потенциально.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим 1
◦
, т. е. равенства
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
= 0,
∂P
∂z
−
∂R
∂x
= 0,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0. (6)
Перепишем последнее равенство в виде
∂
2
U
∂x∂y
−
∂
2
U
∂y∂x
= 0.
Для его обоснования достаточно сослаться на теорему о незави-
симости второй смешанной производной от порядка дифферен-
цирования, если каждая из вторых производных непрерывна.
Аналогично устанавливаются и другие два равенства в (6).
Доказательство утверждения 2
◦
(после разъяснения встре-
чающихся в нем понятий) будет приведено для плоского случая
в теореме 3, а для трехмерного случая будет получено позднее
как следствие из формулы Стокса.
Следующий пример показывает, что без каких-либо пред-
положений о геометрических свойствах области G безвихревое
поле не обязано быть потенциальным.
Пример 1. Пусть поле
~a = (P (x, y), Q(x, y)) =
−
y
x
2
+ y
2
,
x
x
2
+ y
2
задано во всех точках плоскости, кроме начала координат. То-
гда
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
=
y
2
− x
2
(x
2
+ y
2
)
при (x, y) 6= (0, 0),
так что rot~a =
~
0. Однако поле не является потенциальным,
так как отлична от нуля циркуляция его по окружности:
C
R
= {(x = R cos θ, y = R sin θ), 0 6 θ 6 2π} :
Z
C
R
(~a, d~r) =
Z
2π
0
−
R
2
cos
2
θ dθ
R
2
=
72                      Глава 20. Криволинейные интегралы

      2.◦ если область G поверхностно односвязна, а в плоском
          случае (G ⊂ R2 , R ≡ 0, P = P (x, y), Q = Q(x, y)) —
          односвязна, и rot~a = ~0 в G, то поле ~a потенциально.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим 1◦ , т. е. равенства
           ∂R ∂Q                      ∂P   ∂R        ∂Q ∂P
              −    = 0,                  −    = 0,      −    = 0.   (6)
           ∂y   ∂z                    ∂z   ∂x        ∂x   ∂y
     Перепишем последнее равенство в виде
                                    ∂2U   ∂2U
                                        −     = 0.
                                    ∂x∂y ∂y∂x
Для его обоснования достаточно сослаться на теорему о незави-
симости второй смешанной производной от порядка дифферен-
цирования, если каждая из вторых производных непрерывна.
   Аналогично устанавливаются и другие два равенства в (6).
   Доказательство утверждения 2◦ (после разъяснения встре-
чающихся в нем понятий) будет приведено для плоского случая
в теореме 3, а для трехмерного случая будет получено позднее
как следствие из формулы Стокса.
   Следующий пример показывает, что без каких-либо пред-
положений о геометрических свойствах области G безвихревое
поле не обязано быть потенциальным.
   Пример 1. Пусть поле
                                                     
                                        y       x
         ~a = (P (x, y), Q(x, y)) = − 2     ,
                                     x + y 2 x2 + y 2
задано во всех точках плоскости, кроме начала координат. То-
гда
         ∂Q     ∂P     y 2 − x2
             =      = 2          при (x, y) 6= (0, 0),
          ∂x    ∂y    (x + y 2 )
так что rot~a = ~0. Однако поле не является потенциальным,
так как отлична от нуля циркуляция его по окружности:
            CR = {(x = R cos θ, y = R sin θ), 0 6 θ 6 2π} :
                        2π
                                 R2 cos2 θ dθ
Z                   Z
      (~a, d~r) =            −                =
 CR                 0                R2

Страницы