Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.5. Потенциальные векторные поля 71
по параметру, в качестве которого выбран x (так что x
0
x
= 1,
y
0
x
= 0, z
0
x
= 0). Тогда
∆U
∆x
(x
0
, y
0
, z
0
) − P (x
0
, y
0
, z
0
)
=
=
1
∆x
Z
∆x
0
[P (x
0
+ ξ, y
0
, z
0
) − P (x
0
, y
0
, z
0
)] dξ
6
6 max
|ξ|6|∆x|
|P (x
0
+ ξ, y
0
, z
0
) − P (x
0
, y
0
, z
0
)| → 0 при ∆x → 0,
поскольку функция P непрерывна в точке (x
0
, y
0
, z
0
).
Таким образом, установлено равенство (4) и теорема дока-
зана.
З а м е ч а н и е 1. При доказательстве потенциаль-
ности поля ~a в условиях II
00
было не только доказано существо-
вание потенциала, но и указано его выражение через ~a в виде
формулы (3).
Упражнение 1. Показать, что если U и V — два потен-
циала непрерывного поля ~a в области G, то существует посто-
янная C такая, что
V (x, y, z) = U (x, y, z) + C при (x, y, z) ∈ G.
Представляет интерес найти простые (в отличие от II
0
или II
00
) условия потенциальнос ти поля ~a. Введем ротор (или
вихрь) поля ~a:
rot~a B ∇ ×~a =
~ı ~
~
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
=
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
~ı +
∂P
∂z
−
∂R
∂x
~ +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
~
k. (5)
Определенное в области G векторное поле~a называется без-
вихревым, если rot~a =
~
0 в G.
Теорема 2. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывно дифферен-
цируемое в области G ⊂ R
3
векторное поле. Тогда
1.
◦
если поле ~a потенциально, то rot~a =
~
0;
               § 20.5. Потенциальные векторные поля               71

по параметру, в качестве которого выбран x (так что x0x = 1,
yx0 = 0, zx0 = 0). Тогда
∆U
   (x0 , y0 , z0 ) − P (x0 , y0 , z0 ) =
∆x
                 Z ∆x
             1
     =                [P (x0 + ξ, y0 , z0 ) − P (x0 , y0 , z0 )] dξ 6
          ∆x 0
 6 max |P (x0 + ξ, y0 , z0 ) − P (x0 , y0 , z0 )| → 0 при ∆x → 0,
    |ξ|6|∆x|

поскольку функция P непрерывна в точке (x0 , y0 , z0 ).
   Таким образом, установлено равенство (4) и теорема дока-
зана.
   З а м е ч а н и е 1. При доказательстве потенциаль-
ности поля ~a в условиях II00 было не только доказано существо-
вание потенциала, но и указано его выражение через ~a в виде
формулы (3).
   Упражнение 1. Показать, что если U и V — два потен-
циала непрерывного поля ~a в области G, то существует посто-
янная C такая, что
         V (x, y, z) = U (x, y, z) + C   при (x, y, z) ∈ G.
   Представляет интерес найти простые (в отличие от II0
или II00 ) условия потенциальности поля ~a. Введем ротор (или
вихрь) поля ~a:
                   ~ı   ~ ~k
                 ∂ ∂ ∂ =
rot~a B ∇ ×~a = ∂x  ∂y ∂z
                 P Q R
                                               
           ∂R ∂Q            ∂P   ∂R         ∂Q ∂P ~
       =       −     ~ı +      −     ~ +      −      k. (5)
           ∂y    ∂z         ∂z   ∂x         ∂x   ∂y
   Определенное в области G векторное поле~a называется без-
вихревым, если rot~a = ~0 в G.
   Теорема 2. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывно дифферен-
цируемое в области G ⊂ R3 векторное поле. Тогда
   1.◦ если поле ~a потенциально, то rot~a = ~0;

Страницы