Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 20. Криволинейные интегралы
Покажем, что I ⇒ II
00
. Пусть U — потенциал,
AB =
= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая кривая, ле-
жащая в области G. Тогда
Z
AB
P dx + Q dy + R dz =
Z
b
a
[P (x(t), y(t), z(t))x
0
(t)+
+Q(x(t), y(t), z(t))y
0
(t) + R(x(t), y(t), z(t))z
0
(t)] dt =
=
Z
b
a
d
dt
U(x(t), y(t), z(t)) dt = U(x(t), y(t), z(t))
b
a
=
= U (B) − U (A).
Покажем, наконец, что II
00
⇒I. Пусть точка A
0
— фиксиро-
ванная, а B(x, y, z) — произвольная точка области G. Рассмо-
трим функцию
U(B) = U (x, y, z) B
Z
A
0
B
P dx + Q dy + R dz, (3)
где
A
0
B — кусочно гладкая кривая, лежащая в G. Такое опре-
деление функции U корректно, т. к. правая часть (3) в силу II
00
зависит лишь от B(x, y, z), т. е. от (x, y, z). Поэтому правую
часть (3) нередко записывают в виде
R
B
A
0
P dx + Q dy + R dz.
Покажем, что U является потенциалом поля ~a, т. е. выполня-
ются равенства (1), из которых установим лишь первое. Пусть
B
0
= B
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ∈ G. Установим равенство
∂U
∂x
(x
0
, y
0
, z
0
) = P (x
0
, y
0
, z
0
) (4)
непосредственным вычислением производной
∂U
∂x
. Пусть
U(x
0
, y
0
, z
0
) и U (x
0
+ ∆x, y
0
, z
0
) представлены в виде (20.3.3) с
помощью соответственно кривых
A
0
B
0
и
A
0
B B
A
0
B
0
∪ B
0
B,
где B
0
B — отрезок, соединяющий точки B
0
и B. Тогда
∆U B U (x
0
+ ∆x, y
0
, z
0
) − U(x
0
, y
0
, z
0
) =
=
Z
BB
0
P dx + Q dy + R dz =
Z
x
0
+∆x
x
0
P (x, y
0
, z
0
) dx.
При получении последнего равенства использовано опреде-
ление криволинейного интеграла через определенный интеграл
70                  Глава 20. Криволинейные интегралы
                                                                       
   Покажем, что I ⇒ II00 . Пусть U — потенциал, AB =
= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая кривая, ле-
жащая в области G. Тогда
Z                            Z b
   P dx + Q dy + R dz =         [P (x(t), y(t), z(t))x0 (t)+
 AB                                a
          +Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t)] dt =
                               0
            Z b                                                    b
                d
          =       U (x(t), y(t), z(t)) dt = U (x(t), y(t), z(t)) =
             a dt                                                  a
                                                         = U (B) − U (A).
   Покажем, наконец, что II00 ⇒I. Пусть точка A0 — фиксиро-
ванная, а B(x, y, z) — произвольная точка области G. Рассмо-
трим функцию
                              Z
         U (B) = U (x, y, z) B  P dx + Q dy + R dz,     (3)
                                       A0 B
      
где A0 B — кусочно гладкая кривая, лежащая в G. Такое опре-
деление функции U корректно, т. к. правая часть (3) в силу II00
зависит лишь от B(x, y, z), т. е. от (x, y, z). Поэтому правую
                                                    RB
часть (3) нередко записывают в виде A0 P dx + Q dy + R dz.
Покажем, что U является потенциалом поля ~a, т. е. выполня-
ются равенства (1), из которых установим лишь первое. Пусть
B0 = B0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ G. Установим равенство
                        ∂U
                           (x0 , y0 , z0 ) = P (x0 , y0 , z0 )        (4)
                        ∂x
непосредственным вычислением производной ∂U                    ∂x . Пусть
U (x0 , y0 , z0 ) и U (x0 + ∆x, y0 , z0 ) представлены в виде (20.3.3) с
                                                              
помощью соответственно кривых A0 B0 и A0 B B A0 B0 ∪ B0 B,
где B0 B — отрезок, соединяющий точки B0 и B. Тогда
∆U B U (x0 + ∆x, y0 , z0 ) − U (x0 , y0 , z0 ) =
            Z                                   Z   x0 +∆x
          =       P dx + Q dy + R dz =                       P (x, y0 , z0 ) dx.
                    BB0                          x0
   При получении последнего равенства использовано опреде-
ление криволинейного интеграла через определенный интеграл

Страницы