Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава 20. Криволинейные интегралы
§ 20.5. Потенциальные векторные поля
Определение 1. Векторное поле ~a = (P (x, y, z), Q(x, y, z),
R(x, y, z)), заданное на области G ⊂ R
3
, называется потенци-
альным в области G, если существует непрерывно дифферен-
цируемая функция U: G → R такая, что
P =
∂U
∂x
, Q =
∂U
∂y
, R =
∂U
∂z
, на G. (1)
Функцию U называют при этом потенциальной функцией
поля ~a или потенциалом поля ~a.
Если функция U является потенциалом поля ~a, то функция
U + C, где C — произвольная постоянная, также является по-
тенциалом поля ~a.
Верно и обратное (что будет ясно из дальнейшего): если U ,
V — два потенциала поля ~a в области G, то V = U + C на G,
где C — некоторая постоянная.
Равенства (1) иначе можно записать так:
~a =
∂U
∂x
~ı +
∂U
∂y
~ +
∂U
∂z
~
k = grad U = ∇U, (2)
или dU = P dx + Q dy + R dz,
где ∇ — символический вектор
∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
,
называемый набла.
Интеграл
R
Γ
(~a, d~r) по контуру Γ называют циркуляцией
векторного поля ~a по контуру Γ.
Теорема 1. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывное поле в
области G. Тогда следующие условия эквивалентны:
I. Поле ~a потенциально в G.
II
0
. Для любого кусочно гладкого контура Γ ⊂ G
Z
Γ
(~a, d~r) = 0.
68                Глава 20. Криволинейные интегралы

       § 20.5. Потенциальные векторные поля
   Определение 1. Векторное поле ~a = (P (x, y, z), Q(x, y, z),
R(x, y, z)), заданное на области G ⊂ R3 , называется потенци-
альным в области G, если существует непрерывно дифферен-
цируемая функция U : G → R такая, что
                  ∂U          ∂U          ∂U
          P =        ,   Q=      ,   R=      ,   на G.      (1)
                  ∂x          ∂y          ∂z
   Функцию U называют при этом потенциальной функцией
поля ~a или потенциалом поля ~a.
   Если функция U является потенциалом поля ~a, то функция
U + C, где C — произвольная постоянная, также является по-
тенциалом поля ~a.
   Верно и обратное (что будет ясно из дальнейшего): если U ,
V — два потенциала поля ~a в области G, то V = U + C на G,
где C — некоторая постоянная.
   Равенства (1) иначе можно записать так:
                  ∂U      ∂U      ∂U ~
           ~a =      ~ı +    ~ +    k = grad U = ∇U,       (2)
                  ∂x      ∂y      ∂z
              или dU = P dx + Q dy + R dz,
где ∇ — символический вектор
                                 
                         ∂ ∂ ∂
                  ∇=       ,  ,     ,
                         ∂x ∂y ∂z
называемый набла.
             R
   Интеграл Γ (~a, d~r) по контуру Γ называют циркуляцией
векторного поля ~a по контуру Γ.

   Теорема 1. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывное поле в
области G. Тогда следующие условия эквивалентны:
     I. Поле ~a потенциально в G.
   II0 . Для любого кусочно гладкого контура Γ ⊂ G
                            Z
                               (~a, d~r) = 0.
                                Γ

Страницы