Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 66 стр.

66               Глава 20. Криволинейные интегралы

     Пусть ограниченная область D ⊂ D ⊂ G и якобиан
                              ∂(x, y)
                  J(u, v) B           6= 0 на D.
                              ∂(u, v)
Тогда J(u, v) сохраняет знак на D, т. е. является либо положи-
тельным на G, либо отрицательным на G (см. теорему 10.5.4).
Тогда D∗ B F (D) также является ограниченной областью
плоскости (x, y) (теорема 12.3.4).
   Пусть Γ B ∂D является простым кусочно гладким конту-
ром. Тогда
                  Γ∗ B F (Γ) = F (∂D) = ∂D∗
(доказательство последнего равенства совпадает с доказатель-
ством утверждения 1◦ леммы 19.4.2) также является простым
кусочно гладким контуром. В самом деле, пусть
                   Γi = {(u(t), v(t)) : a 6 t 6 b}
— гладкая кривая, Γi ⊂ Γ. Тогда
      Γ∗i B F (Γi ) = {(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t))), α 6 t 6 β}
является непрерывно дифференцируемой кривой по теореме о
дифференцируемости сложной функции. Кроме того,
          dx  x0 du + x0 dv 
                                        !  du 
                                     x 0 x0 
          dt      u dt     v dt               dt 
                                                  
            
             =
                                     u v 
        
         dy     du
                            0 dv 
                                  =          
                                       0 y 0  dv 
                                                  ,
                                                   
           y0
              
                        + y
                                 
                                     y
                                                  
          dt       u dt     v dt       u v      dt
                                                         ∂(x, y)
причем определитель квадратной матрицы равен ∂(u, v) 6= 0.
              2  2                           2  2
Поэтому из du       +   dv   > 0 следует, что    dx + dy      >
               dt       dt                       dt       dt
                ∗
> 0, т. е. что Γi не имеет особых точек, т. е. является гладкой.
Предполагая для определенности, что ориентация контура Γ B
B {(u(t), v(t)): a 6 t 6 b}, определяемая возрастанием пара-
метра t, является положительной относительно D, так ориен-
тированный контур Γ обозначим через Γ+ . При этом ориента-
ция контура Γ∗ = F (Γ), наследуемая от ориентации контура
Γ+ (т. е. определяемая возрастанием параметра t), может ока-
заться как положительной, так и отрицательной относительно