Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 65
Пусть теперь гладкая кривая γ
1
является частью границы
некоторой области D, замыкание которой содержится в G.
Пусть γ
1
ориентирована положительно относительно D. Срав-
ним ориентацию γ
1
относительно D и ориентацию Γ
1
= F (γ
1
)
относительно F (D). Возьмем кривую γ
2
, пересекающую γ
1
, с
касательным вектором в точке пересечения, направленным по
нормали к γ
1
внутрь D. Из предыдущего видно, что возможны
случаи (Γ
i
= F (γ
i
)):
Γ
1
Γ
2
x
y
J < 0
Γ
1
Γ
2
x
y
J > 0
γ
1
γ
2
u
v
Рис. 20.6
Таким образом, приходим к окончательной формулировке
геометрического смысла знака якобиана плоского отображе-
ния.
При положительном якобиане сохраняется после отобра-
жения направление кратчайшего поворота от одной из пере-
секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой,
являющейся частью границы области D, относительно D.
При отрицательном якобиане указанные направления
кратчайшего поворота и ориентация относительно области
меняются на противоположные.
Второй подход
Этот подход основан на использовании формулы Грина.
Пусть снова
F :
(
x = (u, v),
y = (u, v)
— взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-
бражение некоторой области G плоскости (u, v).
 § 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения      65

   Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы
некоторой области D, замыкание которой содержится в G.
Пусть γ1 ориентирована положительно относительно D. Срав-
ним ориентацию γ1 относительно D и ориентацию Γ1 = F (γ1 )
относительно F (D). Возьмем кривую γ2 , пересекающую γ1 , с
касательным вектором в точке пересечения, направленным по
нормали к γ1 внутрь D. Из предыдущего видно, что возможны
случаи (Γi = F (γi )):

   v                      y                    y
                                          Γ1
         γ2                     Γ2                 Γ2
                 γ1
                                                        Γ1
                      u                    x                 x
                                J >0               J <0
                              Рис. 20.6

   Таким образом, приходим к окончательной формулировке
геометрического смысла знака якобиана плоского отображе-
ния.
   При положительном якобиане сохраняется после отобра-
жения направление кратчайшего поворота от одной из пере-
секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой,
являющейся частью границы области D, относительно D.
   При отрицательном якобиане указанные направления
кратчайшего поворота и ориентация относительно области
меняются на противоположные.

                          Второй подход
   Этот подход основан на использовании формулы Грина.
Пусть снова             (
                          x = (u, v),
                    F :
                          y = (u, v)
— взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-
бражение некоторой области G плоскости (u, v).

Страницы