Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 20. Криволинейные интегралы
(x, y) (см. рис. 20.5):
γ
1
= {(u, v) : u = u
1
(t), v = v
1
(t)},
γ
2
= {(u, v) : u = u
2
(t), v = v
2
(t)},
F γ
1
= {(x, y) : x = x
1
(t), y = y
1
(t)},
F γ
2
= {(x, y) : x = x
2
(t), y = y
2
(t)},
где
x
1
(t) B x(u
1
(t), v
1
(t)), y
1
(t) B y(u
1
(t), v
1
(t)),
x
2
(t) B x(u
2
(t), v
2
(t)), y
2
(t) B y(u
2
(t), v
2
(t)).
Будем считать, что в точке пересечения кривых γ
1
и γ
2
зна-
чение параметров t = t
0
. Сравним направление кратчайшего
поворота касательного вектора к γ
1
до касательного вектора
к γ
2
в точке пересечения кривых с соответствующим напра-
влением для их образов F γ
1
, F γ
2
. Преобразуем для этого
векторное произведение касательных векторов:
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
(~ı ×~) =
dx
1
dt
~ı +
dy
1
dt
~
×
dx
2
dt
~ı +
dy
2
dt
~
=
= [(x
0
u
u
0
1
+ x
0
v
v
0
1
)~ı + (y
0
u
u
0
1
+ y
0
v
v
0
1
)~] × [(x
0
u
u
0
2
+ x
0
v
v
0
2
)~ı+
+(y
0
u
u
0
2
+ y
0
v
v
0
2
)~] = (x
0
u
u
0
1
y
0
v
v
0
2
+ x
0
v
v
0
1
y
0
u
u
0
2
)(~ı ×~)−
−(x
0
u
u
0
2
y
0
v
v
0
1
+ x
0
v
v
0
2
y
0
u
u
0
1
)(~ı ×~) =
= (x
0
u
y
0
v
− x
0
v
y
0
u
)(u
0
1
v
0
2
− v
0
1
u
0
2
)(~ı ×~).
Здесь было учтено, что ~ ×~ı = −~ı ×~. Сравнивая коэффи-
циенты при ~ı ×~ в левой и правой частях цепочки равенств,
получаем
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
=
∂(x, y)
∂(u, v)
u
0
1
u
0
2
v
0
1
v
0
2
.
По столбцам определителей стоят координаты касательных
векторов к γ
1
и γ
2
(правый определитель) и к Fγ
1
и Fγ
2
(левый
определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-
дим к выводу: при
∂(x, y)
∂(u, v)
> 0 (< 0) направление кратчайшего
поворота от первого касательного вектора ко второму после
отображения сохраняется (меняется на противоположное).
64                  Глава 20. Криволинейные интегралы

(x, y) (см. рис. 20.5):
                      γ1 = {(u, v) : u = u1 (t), v = v1 (t)},
                      γ2 = {(u, v) : u = u2 (t), v = v2 (t)},
                  F γ1 = {(x, y) : x = x1 (t), y = y1 (t)},
                  F γ2 = {(x, y) : x = x2 (t), y = y2 (t)},
где
            x1 (t) B x(u1 (t), v1 (t)), y1 (t) B y(u1 (t), v1 (t)),
         x2 (t) B x(u2 (t), v2 (t)), y2 (t) B y(u2 (t), v2 (t)).
   Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 зна-
чение параметров t = t0 . Сравним направление кратчайшего
поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора
к γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим напра-
влением для их образов F γ1 , F γ2 . Преобразуем для этого
векторное произведение касательных векторов:
 dx1 dx2                                             
  dt dt               dx1      dy1       dx2      dy2
         (~ı ×~) =       ~ı +     ~ ×      ~ı +     ~ =
 dy1 dy2               dt       dt        dt       dt
  dt dt
      = [(x0u u01 + x0v v10 )~ı + (yu0 u01 + yv0 v10 )~] × [(x0u u02 + x0v v20 )~ı+
         +(yu0 u02 + yv0 v20 )~] = (x0u u01 yv0 v20 + x0v v10 yu0 u02 )(~ı ×~)−
                     −(x0u u02 yv0 v10 + x0v v20 yu0 u01 )(~ı ×~) =
                                       = (x0u yv0 − x0v yu0 )(u01 v20 − v10 u02 )(~ı ×~).
   Здесь было учтено, что ~ ×~ı = −~ı ×~. Сравнивая коэффи-
циенты при ~ı ×~ в левой и правой частях цепочки равенств,
получаем
                          dx1 dx2            0   0
                           dt dt = ∂(x, y) u1 u2 .
                          dy1 dy2  ∂(u, v) v10 v20
                           dt dt
   По столбцам определителей стоят координаты касательных
векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к F γ1 и F γ2 (левый
определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-
                           ∂(x, y)
дим к выводу: при ∂(u, v) > 0 (< 0) направление кратчайшего
поворота от первого касательного вектора ко второму после
отображения сохраняется (меняется на противоположное).

Страницы