Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

62 Глава 20. Криволинейные интегралы
треннюю точку с тем прямоугольником Q
i
или P
j
, который
содержит точку (x
∗
, y
∗
), а это противоречит построению R
k
.
Следовательно, D ∩ int R
k
= int R
k
— простая область.
Итак, показано, что
D ⊂
l
[
i=1
Q
i
!
∪
m
[
j=1
P
j
∪
r
[
k=1
R
k
!
,
где l + m + r прямоугольников попарно не имеют общих вну-
тренних точек, пересечения D∩int P
j
и D∩int R
k
являются про-
стыми областями, пересечение D∩int Q
i
либо является простой
областью, либо может быть разрезано на две простые области.
Лемма доказана.
Заметим, что формула Грина имеет определенную анало-
гию с формулой Ньютона–Лейбница: интеграл от производ-
ных по области интегрирования выражается через значения
функции на границе этой области.
Формулу Грина можно использовать для вычисления пло-
щади области с помощью криволинейного интеграла по ее гра-
нице. Для этого возьмем в качестве (P (x, y), Q(x, y))
(0, x) или
−
y
2
,
x
2
или (−y, 0).
Тогда
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 1 и по формуле Грина
µD =
Z
∂D
+
x dy =
1
2
Z
∂D
+
−y dx + x dy = −
Z
∂D
+
y dx. (13)
§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана
плоского отображения
Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла
знака якобиана плоского отображения.
Первый подход
i
j
k
Рис. 20.4
Для двух векторов
~a = a
1
~ı + a
2
~,
~
b = b
1
~ı + b
2
~
62                Глава 20. Криволинейные интегралы

треннюю точку с тем прямоугольником Qi или Pj , который
содержит точку (x∗ , y ∗ ), а это противоречит построению Rk .
Следовательно, D ∩ int Rk = int Rk — простая область.
   Итак, показано, что
                   l
                          ! m        
                                            r
                                                !
                 [               [         [
           D⊂         Qi ∪        Pj  ∪     Rk ,
                     i=1        j=1          k=1

где l + m + r прямоугольников попарно не имеют общих вну-
тренних точек, пересечения D∩int Pj и D∩int Rk являются про-
стыми областями, пересечение D∩int Qi либо является простой
областью, либо может быть разрезано на две простые области.
   Лемма доказана.
   Заметим, что формула Грина имеет определенную анало-
гию с формулой Ньютона–Лейбница: интеграл от производ-
ных по области интегрирования выражается через значения
функции на границе этой области.
   Формулу Грина можно использовать для вычисления пло-
щади области с помощью криволинейного интеграла по ее гра-
нице. Для этого возьмем в качестве (P (x, y), Q(x, y))
                         y x
            (0, x) или   − ,        или (−y, 0).
                            2 2
     Тогда ∂Q    ∂P
            ∂x − ∂y = 1 и по формуле Грина
          Z             Z                    Z
                      1
     µD =      x dy =       −y dx + x dy = −      y dx.   (13)
           ∂D+        2 ∂D+                   ∂D+


     § 20.4. Геометрический смысл знака якобиана
                 плоского отображения
   Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла
знака якобиана плоского отображения.
                           Первый подход
                  Для двух векторов
      k
                                 ~a = a1~ı + a2~,
                                 ~b = b1~ı + b2~
              j
     i
     Рис. 20.4

Страницы