Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава 20. Криволинейные интегралы
Так, например, окружность {(x = cos θ, y = sin θ):
0 6 θ 6 2π} разбивается на 5 дуг. При ее параметризации:
n
(x = cos θ, y = sin θ) :
π
4
6 θ 6 2π +
π
4
o
будет выполнено и последнее требование.
Точки ˆr(t
j
), (0 6 j 6 j
0
− 1), каждая из которых принад-
лежит двум дугам разного типа, будем называть переходными
точками. Так, например, для рассмотренной окружности в
качестве переходных можно взять 4 точки с параметрами θ =
=
1
4
π,
3
4
π,
5
4
π,
7
4
π.
Будем точки ˆr(t
j−1
), ˆr(t
j
) дуги Γ
(j)
из (12) называть конце-
выми, а прямоугольник, граница которого содержит концевую
точку, — концевым.
Построим для каждой дуги Γ
(j)
из (12) покрытие семей-
ством замкнутых прямоугольников {P
i
i
}
i
j
i=1
со свойствами:
1.
◦
S
i
j
i=1
P
ji
⊃ Γ
(j)
;
2.
◦
P
ji
∩ P
jk
= ∅ при j 6= k;
3.
◦
пересечение D
ji
B D ∩ int P
ji
(1 6 i 6 i
j
) является про-
стой областью;
4.
◦
каждая из концевых точек дуги Γ
(j)
находится в вер-
шине (единственного) концевого прямоугольника семей-
ства.
Покажем, как осуществить это построение, например, на
случае, когда Γ
(j)
из (12) — дуга горизонтального типа. Пере -
ходя к параметру x, запишем дугу Γ
(j)
из (12) в виде
Γ
(j)
= {(x, ψ(x)), x
∗
6 x 6 x
∗
}, |ψ
0
| 6 2.
Пусть τ
∗
— разбиение отрезка [x
∗
, x
∗
] на равные от-
резки [x
i−1
, x
i
]. Пусть P
ji
— прямоугольник, проекция
которого на Ox есть [x
i−1
, x
i
], центр находится в точке

x
i−1
+ x
i
2
, ψ
x
i−1
+ x
i
2

, а вертикальная сторона вдвое
больше горизонтальной. При э том мелкость |τ
∗
| разбиения τ
∗
,
а значит, и diam P
ji
мы можем взять с коль угодно малыми.
Выполнение свойств 1
◦
, 2
◦
, 3
◦
очевидно. Если для постро-
енного покрытия свойство 4
◦
не выполняется в точке ˆr(t
j−1
)
60              Глава 20. Криволинейные интегралы

    Так, например, окружность {(x = cos θ, y = sin θ):
0 6 θ 6 2π} разбивается на 5 дуг. При ее параметризации:
             n                           π            πo
                (x = cos θ, y = sin θ) :   6 θ 6 2π +
                                         4            4
будет выполнено и последнее требование.
    Точки r̂(tj ), (0 6 j 6 j0 − 1), каждая из которых принад-
лежит двум дугам разного типа, будем называть переходными
точками. Так, например, для рассмотренной окружности в
качестве переходных можно взять 4 точки с параметрами θ =
= 41 π, 34 π, 54 π, 74 π.
   Будем точки r̂(tj−1 ), r̂(tj ) дуги Γ(j) из (12) называть конце-
выми, а прямоугольник, граница которого содержит концевую
точку, — концевым.
   Построим для каждой дуги Γ(j) из (12) покрытие семей-
                                              ij
ством замкнутых прямоугольников {Pii }i=1         со свойствами:
     ◦
       S ij         (j)
   1. i=1 Pji ⊃ Γ ;
   2.◦ Pji ∩ Pjk = ∅ при j 6= k;
   3.◦ пересечение Dji B D ∩ int Pji (1 6 i 6 ij ) является про-
       стой областью;
   4.◦ каждая из концевых точек дуги Γ(j) находится в вер-
       шине (единственного) концевого прямоугольника семей-
       ства.
   Покажем, как осуществить это построение, например, на
случае, когда Γ(j) из (12) — дуга горизонтального типа. Пере-
ходя к параметру x, запишем дугу Γ(j) из (12) в виде
           Γ(j) = {(x, ψ(x)), x∗ 6 x 6 x∗ },   |ψ 0 | 6 2.
    Пусть τ ∗ — разбиение отрезка [x∗ , x∗ ] на равные от-
резки [xi−1 , xi ].    Пусть Pji — прямоугольник, проекция
которого   на  Ox     есть  [x
                               i−1 , xi ], центр находится в точке
   xi−1 + xi        xi−1 + xi
            
       2      ,ψ        2        , а вертикальная сторона вдвое
больше горизонтальной. При этом мелкость |τ ∗ | разбиения τ ∗ ,
а значит, и diam Pji мы можем взять сколь угодно малыми.
    Выполнение свойств 1◦ , 2◦ , 3◦ очевидно. Если для постро-
енного покрытия свойство 4◦ не выполняется в точке r̂(tj−1 )

Страницы