Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 20. Криволинейные интегралы
Лемма 1. Ограниченная плоская область D с границей
∂D, состоящей из конечного числа попарно не пересекающихся
простых кусочно гладких контуров Γ
i
(∂D =
S
I
i=1
Γ
i
), может
быть разрезана на конечное число простых областей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея состоит в том, чтобы по-
крыть область D некоторым семейством попарно не пересе-
кающихся замкнутых прямоугольников и требуемые простые
области получить в качес тве пересечения внутренности ка-
ждого из этих прямоугольников с D либо в качестве такого
пересечения с одним дополнительным разрезом.
До конца доказательства под прямоугольниками будем по-
нимать замкнутые прямоугольники с о сторонами, параллель-
ными координатным осям.
1-й ш а г. Построим сначала покрытие границы ∂D =
=
S
I
i=1
Γ
i
. Будем брать только прямоугольники, по диаметру
меньшие достаточно малого числа δ > 0. Тогда покрытия раз-
личных кривых Γ
i
, Γ
j
(i 6= j) не пересекаются.
Точку границы ∂D назовем угловой, если единичный каса-
тельный вектор контура Γ
i
, проходящего через эту точку, не
является в ней непрерывным. Граница ∂D может либо не со-
держать угловых точек, либо иметь их в конечном числе. При
наличии угловых точек покроем каждую из них прямоуголь-
ником (квадратом по форме) с центром в ней. Мы получим
покрытие
S
l
i=1
Q
i
множества угловых точек. Без ограниче-
ния общности будем считать, что dist(Q
i
, Q
j
) > δ при i 6= j.
Вблизи центра Q
i
граница ∂D представляет собой кривую, со-
ставленную из двух простых дуг, имеющих в центре Q
i
одно-
сторонние касательные и отклоняющихся от этих касательных
на величину, бесконечно малую сравнительно с расстоянием до
центра. Будем считать Q
i
столь малыми по диаметру, что ка-
ждая из этих дуг пересекает под ненулевым углом ту же сто-
рону Q
i
, что и односторонняя касательная к ней в центре Q
i
,
и что
D
i
= D ∩ int Q
i
(1 6 i 6 k),
либо является простой областью, либо может быть разрезана
(удалением интервала с концом в центре Q
i
) на две простые
58            Глава 20. Криволинейные интегралы

   Лемма 1. Ограниченная плоская область D с границей
∂D, состоящей из конечного числа попарно не пересекающихся
простых кусочно гладких контуров Γi (∂D = Ii=1 Γi ), может
                                             S
быть разрезана на конечное число простых областей.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея состоит в том, чтобы по-
крыть область D некоторым семейством попарно не пересе-
кающихся замкнутых прямоугольников и требуемые простые
области получить в качестве пересечения внутренности ка-
ждого из этих прямоугольников с D либо в качестве такого
пересечения с одним дополнительным разрезом.
    До конца доказательства под прямоугольниками будем по-
нимать замкнутые прямоугольники со сторонами, параллель-
ными координатным осям.
  S1-й ш а г. Построим сначала покрытие границы ∂D =
= Ii=1 Γi . Будем брать только прямоугольники, по диаметру
меньшие достаточно малого числа δ > 0. Тогда покрытия раз-
личных кривых Γi , Γj (i 6= j) не пересекаются.
    Точку границы ∂D назовем угловой, если единичный каса-
тельный вектор контура Γi , проходящего через эту точку, не
является в ней непрерывным. Граница ∂D может либо не со-
держать угловых точек, либо иметь их в конечном числе. При
наличии угловых точек покроем каждую из них прямоуголь-
ником (квадратом      по форме) с центром в ней. Мы получим
покрытие li=1 Qi множества угловых точек. Без ограниче-
            S
ния общности будем считать, что dist(Qi , Qj ) > δ при i 6= j.
Вблизи центра Qi граница ∂D представляет собой кривую, со-
ставленную из двух простых дуг, имеющих в центре Qi одно-
сторонние касательные и отклоняющихся от этих касательных
на величину, бесконечно малую сравнительно с расстоянием до
центра. Будем считать Qi столь малыми по диаметру, что ка-
ждая из этих дуг пересекает под ненулевым углом ту же сто-
рону Qi , что и односторонняя касательная к ней в центре Qi ,
и что
                    Di = D ∩ int Qi (1 6 i 6 k),
либо является простой областью, либо может быть разрезана
(удалением интервала с концом в центре Qi ) на две простые

Страницы