Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 20. Криволинейные интегралы
При h → 0 левая часть (6) стремится к
RR
D
∂P
∂y
dx dy, т. к.
ZZ
D\D
h
∂P
∂y
dx dy 6 max
D
∂P
∂y
µ(D \ D
h
) = max
D
∂P
∂y
h(d − c).
Остается показать, что правая часть (6) при h → 0 стре-
мится к
R
∂D
+
P dx и перейти в (6) к пределу. Для этого доста-
точно установить, что
Z
Γ
ih
P dx →
Z
Γ
i
P dx при h → 0 (i = 1, 2), (7)
поскольку очевидно, что при h → 0
Z
ϕ(c)+h
ϕ(c)
+
Z
ψ(c)
ψ(c)−h
!
|P (x, c)|dx+
+
Z
ϕ(d)+h
ϕ(d)
+
Z
ψ(d)
ψ(d)−h
!
|P (x, d)|dx → 0.
Для доказательства (7) при i = 1 выберем y в качестве
параметра на Γ
1
и на Γ
1h
. Тогда, используя модуль непрерыв-
ности функции P на D, имеем
Z
Γ
1
P dx −
Z
Γ
1h
P dx
6
d
Z
c
|P (ϕ(y), y) − P (ϕ(y) − h, y)||ϕ
0
(y)|dy 6
6 ω(h, P, D) max
[c,d]
|ϕ
0
|(d − c) → 0 при h → 0.
Аналогично устанавливается (7) при i = 2.
Утверждение шага 3 установлено.
4-й ш а г.
Установим (4) для простой относите льно Ox
области D, т. е. имеющей вид (2) с кусочно гладкими кри-
выми (5). Здесь не исключаются случаи, когда ϕ(c) = ψ(c) и
(или) ϕ(d) = ψ(d). Пусть ε > 0,
D
ε
= {(x, y) : ϕ(y) < x < ψ(y), c + ε < y < d − ε}.
Формула (4) верна для области D
ε
в силу результата шага 3.
Остается перейти в ней к пределу при ε → 0.
56                    Глава 20. Криволинейные интегралы

   При h → 0 левая часть (6) стремится к D ∂P
                                          RR
                                              ∂y dx dy, т. к.
 ZZ
        ∂P              ∂P                     ∂P
           dx dy 6 max       µ(D \ Dh ) = max     h(d − c).
   D\Dh ∂y          D   ∂y                 D   ∂y
   Остается
        R   показать, что правая часть (6) при h → 0 стре-
мится к ∂D+ P dx и перейти в (6) к пределу. Для этого доста-
точно установить, что
        Z           Z
            P dx →    P dx при h → 0 (i = 1, 2),         (7)
               Γih                Γi
поскольку очевидно, что при h → 0
 Z ϕ(c)+h Z ψ(c) !
         +          |P (x, c)| dx+
     ϕ(c)            ψ(c)−h
                                                                   !
                                       Z   ϕ(d)+h       Z   ψ(d)
                                   +                +                  |P (x, d)| dx → 0.
                                       ϕ(d)             ψ(d)−h

   Для доказательства (7) при i = 1 выберем y в качестве
параметра на Γ1 и на Γ1h . Тогда, используя модуль непрерыв-
ности функции P на D, имеем
Z              Z  Zd
     P dx − P dx 6 |P (ϕ(y), y) − P (ϕ(y) − h, y)| |ϕ0 (y)| dy 6
Γ1            Γ1h             c

                         6 ω(h, P, D) max |ϕ0 |(d − c) → 0                 при h → 0.
                                           [c,d]

   Аналогично устанавливается (7) при i = 2.
   Утверждение шага 3 установлено.
   4-й ш а г. Установим (4) для простой относительно Ox
области D, т. е. имеющей вид (2) с кусочно гладкими кри-
выми (5). Здесь не исключаются случаи, когда ϕ(c) = ψ(c) и
(или) ϕ(d) = ψ(d). Пусть ε > 0,
            Dε = {(x, y) : ϕ(y) < x < ψ(y), c + ε < y < d − ε}.
Формула (4) верна для области Dε в силу результата шага 3.
Остается перейти в ней к пределу при ε → 0.

Страницы