Лекции по математическому анализу. Часть 2. Бесов О.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§20.3. Формула Грина 55
3-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Ox область, т. е. имеющая вид (2), причем при
некотором h > 0 ψ − ϕ > 3h на [c, d]. Пусть
D
h
B {(x, y) : ϕ(y) + h < x < ψ(y) − h, c < y < d} ⊂ D,
Γ
1h
= {(ϕ(y) + h, y) : c 6 y 6 d},
Γ
2h
= {(ψ(y) −h, y) : c 6 y 6 d},
Λ
1hτ
= {(ϕ
τ
(y) + h, y) : c 6 y 6 d},
Λ
2hτ
= {(ψ
τ
(y) −h, y) : c 6 y 6 d}
— ломаные, вписанные соответственно в кривые Γ
1h
, Γ
2h
и
построенные с помощью разбиения τ отрезка [c, d] изменения
параметра y (см. §8.1). Мелкость |τ| разбиения τ будем счи-
тать достаточно малой. Пусть
D
h,τ
B {(x, y) : ϕ
τ
(y) + h < x < ψ
τ
(y) −h, c < y < d} ⊂ D.
В силу результата шага 2
ZZ
D
h,τ
∂P
∂y
dx dy = −
Z
∂D
+
h,τ
P dx.
Устремляя |τ| → 0, приходим к формуле
ZZ
D
h
∂P
∂y
dx dy = −
Z
∂D
+
h
P dx. (6)
В самом деле, при M = max{max
[c,d]
|ϕ
0
|, max
[c,d]
|ψ
0
|} мера криво-
линейной трапеции высоты 2M |τ | со «средней линией» Γ
1
(Γ
2
)
равна 2M|τ|(d − c). Следовательно,
ZZ
D
h
∂P
∂y
dx dy −
ZZ
D
h,τ
∂P
∂y
dx dy
6
Z
(D
h
\D
h,τ
)∪(D
h,τ
\D
h
)
∂P
∂y
dx dy 6
6 max
D
∂P
∂y
4M|τ|(d − c) → 0 (|τ| → 0).
Z
Λ
ihτ
P dx →
Z
Γ
ih
P dx → 0 (|τ| → 0, i = 1, 2)
по лемме 20.2.1.
                           § 20.3. Формула Грина                          55

   3-й ш а г. Установим (4) в случае, когда D — простая от-
носительно оси Ox область, т. е. имеющая вид (2), причем при
некотором h > 0 ψ − ϕ > 3h на [c, d]. Пусть
     Dh B {(x, y) : ϕ(y) + h < x < ψ(y) − h, c < y < d} ⊂ D,
                   Γ1h = {(ϕ(y) + h, y) : c 6 y 6 d},
                   Γ2h = {(ψ(y) − h, y) : c 6 y 6 d},
                  Λ1hτ = {(ϕτ (y) + h, y) : c 6 y 6 d},
                  Λ2hτ = {(ψτ (y) − h, y) : c 6 y 6 d}
— ломаные, вписанные соответственно в кривые Γ1h , Γ2h и
построенные с помощью разбиения τ отрезка [c, d] изменения
параметра y (см. § 8.1). Мелкость |τ | разбиения τ будем счи-
тать достаточно малой. Пусть
 Dh,τ B {(x, y) : ϕτ (y) + h < x < ψτ (y) − h, c < y < d} ⊂ D.
     В силу результата шага 2
                ZZ                  Z
                       ∂P
                          dx dy = −        P dx.
                  Dh,τ ∂y              +
                                     ∂Dh,τ

     Устремляя |τ | → 0, приходим к формуле
                 ZZ                  Z
                       ∂P
                           dx dy = −      P dx.                           (6)
                    Dh ∂y               +
                                      ∂Dh

     В самом деле, при M = max{max |ϕ0 |, max |ψ 0 |} мера криво-
                                        [c,d]        [c,d]
линейной трапеции высоты 2M |τ | со «средней линией» Γ1 (Γ2 )
равна 2M |τ |(d − c). Следовательно,
ZZ                   ZZ                          Z
      ∂P                   ∂P                                ∂P
         dx dy −              dx dy 6                           dx dy 6
      ∂y                   ∂y                                ∂y
Dh                  Dh,τ               (Dh \Dh,τ )∪(Dh,τ \Dh )

                                 ∂P
                          6 max      4M |τ |(d − c) → 0 (|τ | → 0).
                             D   ∂y
          Z              Z
                  P dx →     P dx → 0 (|τ | → 0, i = 1, 2)
           Λihτ              Γih
по лемме 20.2.1.

Страницы